電磁學(II) 作業解答 — 第四、五、六章

本文為《電磁學(II)》第四、五、六章作業之完整解答（教師用），含計算過程與驗算檢查；每題文末附「配分建議」摺疊區塊（以該題總分之百分比表示，供部分給分，點開即可查看）。數值題均經獨立程式驗算。

常數：c = 3×10⁸ m/s；η₀ = 120π ≈ 377 Ω；μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m。
趕時間對答案？直接跳到文末的快速對答表。

第四章

例題 1｜馬克斯威爾方程式與連續方程式

(一) 馬克斯威爾方程式（微分形式）

名稱	微分形式	積分形式
法拉第定律	∇×E = −∂B/∂t	∮ E·dl = −dΦ_B/dt
安培–馬克斯威爾定律	∇×H = J + ∂D/∂t	∮ H·dl = I + dΦ_D/dt
高斯定律	∇·D = ρᵥ	∮ D·dS = Q
磁高斯定律（無磁單極）	∇·B = 0	∮ B·dS = 0

（輔助關係式：D = εE，B = μH）

(二) 推導連續方程式

對安培–馬克斯威爾定律兩邊取散度：

∇·(∇×H) = ∇·J + ∂(∇·D)/∂t

由向量恆等式，任何向量場之旋度的散度恆為零：∇·(∇×H) ≡ 0，故

0 = ∇·J + ∂(∇·D)/∂t

代入高斯定律 ∇·D = ρᵥ：

∇·J + ∂ρᵥ/∂t = 0（即 ∇·J = −∂ρᵥ/∂t）

此即連續方程式，物理意義為電荷守恆。

配分建議

四條方程式各 15%（共 60%）；取散度並使用 ∇·(∇×H)=0 恆等式 20%；代入高斯定律得連續方程式 20%。

例題 2｜平行導體板之單位長度電感

已知：兩平行導體板，板寬 w、間距 d（d ≪ w，忽略邊緣效應），板間為 μ₀，上下板載大小相等、方向相反之電流 I(t)。

解：

每板之面電流密度：J_s = I/w（A/m）
求板間磁場（安培定律或兩片電流面之疊加）：單一無限大電流面兩側各產生 H = J_s/2；兩板電流反向，板間兩者同向相加、板外互相抵消：
H = J_s = I/w，B = μ₀I/w（板間均勻，方向平行於板面、垂直於電流）
取沿線方向長度 l 之磁通（磁通截面為 d×l）：
Φ = B·(d·l) = μ₀ I d l / w
電感（單匝，Λ = Φ）：
L = Φ/I = μ₀ d l / w

答：單位長度電感 L′ = μ₀d/w（H/m）（長度 l 之總電感為 μ₀dl/w）

檢驗：與平行板傳輸線 C′ = ε₀w/d 相乘得 L′C′ = μ₀ε₀，符合 TEM 線性質。✓

配分建議

面電流密度與板間磁場 B = μ₀I/w 共 40%；磁通 Φ = μ₀Idl/w 30%；L′ = μ₀d/w 30%。（未除以長度、只答 μ₀dl/w 者酌扣答案分）

例題 3｜導體迴路與長直導線間的互感

已知（依題圖）：長直導線載電流 I₁；矩形迴路高 b，近邊距導線 d，遠邊距導線 a（a、d 皆自導線量起，迴路寬度為 a−d）。

解：

長直導線在距離 r 處之磁通密度（安培定律）：
B(r) = μ₀I₁/(2πr)，方向垂直穿過迴路面
取距導線 r、寬 dr、高 b 之細長條，其磁通：
dΦ = B(r)·b·dr = [μ₀I₁/(2πr)]·b·dr
對整個迴路積分（r 從 d 到 a）：
Φ₁₂ = ∫[d→a] μ₀I₁b/(2πr) dr = (μ₀I₁b/2π)·ln(a/d)
互感定義 M = Φ₁₂/I₁：

答：M = (μ₀b/2π)·ln(a/d)（H）

配分建議

B(r) = μ₀I₁/(2πr) 30%；磁通積分式正確建立（含上下限 d→a）30%；積分結果與 M = (μ₀b/2π)ln(a/d) 40%。

改卷注意：若學生把 a 當成「迴路寬度」而寫 ln((d+a)/d)，屬誤讀題圖；依圖 a 為導線至遠邊之距離，正確答案為 ln(a/d)。

例題 4｜質子在磁場中所受磁力之夾角

已知：v = 2×10⁶ m/s，B = 2.5 T，F = 4×10⁻¹³ N，q = 1.6×10⁻¹⁹ C。

解：

勞侖茲磁力：F = qvB·sinθ

sinθ = F/(qvB) = (4×10⁻¹³)/[(1.6×10⁻¹⁹)(2×10⁶)(2.5)]
分母：1.6×10⁻¹⁹ × 2×10⁶ = 3.2×10⁻¹³；再 ×2.5 = 8×10⁻¹³
sinθ = (4×10⁻¹³)/(8×10⁻¹³) = 0.5

答：θ = 30°（因 sin150° 亦為 0.5，答 150° 者數學上亦成立，可視同正確）

配分建議

F = qvB sinθ 40%；正確代入得 sinθ = 0.5 40%；θ = 30° 20%。

例題 5｜位移電流與傳導電流密度之比值

已知：E = E₀cos(ωt)，材料導電率 σ、介電常數 ε。

解：

傳導電流密度：J_c = σE = σE₀cos(ωt) → 振幅 |J_c| = σE₀

位移電流密度：J_d = ∂D/∂t = ε·∂E/∂t = −εωE₀sin(ωt) → 振幅 |J_d| = ωεE₀

兩者振幅比：

答：|J_d|/|J_c| = ωε/σ（若題目未給 ε，取 ε = ε₀ 即 ωε₀/σ；此即損耗正切 σ/ωε 之倒數。兩電流相位相差 90°）

配分建議

J_c = σE 30%；J_d = ∂D/∂t = ε∂E/∂t（含微分正確）40%；比值 ωε/σ 30%。

第五章

例題 1–4 共用：E(z,t) = x̂·10cos(9π×10⁸t − 3πz) (V/m)，於空氣中傳播。
由波形讀出：ω = 9π×10⁸ rad/s，k = 3π rad/m。

例題 1｜相位速度

v_p = ω/k = (9π×10⁸)/(3π) = 3×10⁸ m/s（等於光速，與空氣中傳播一致 ✓）

配分建議

正確讀出 ω、k 各 25%；v_p = ω/k 與數值 50%。

例題 2｜傳播方向

相位為 (ωt − kz)：等相位面滿足 ωt − kz = 常數，t 增加時 z 必須增加。

答：沿 +z 方向傳播（cos(ωt−kz) 型式即 +z 行進波）

配分建議

理由 50%；答案 +z 50%。

例題 3｜波長

λ = 2π/k = 2π/(3π) = 2/3 m ≈ 0.667 m

檢驗：f = ω/2π = 4.5×10⁸ Hz，λ = c/f = 3×10⁸/4.5×10⁸ = 2/3 m ✓

配分建議

λ = 2π/k 50%；數值 2/3 m 50%。

例題 4｜伴隨之磁場強度（z = 0 平面）

TEM 波之 H 場：H = (1/η)·(k̂ × E)，空氣中 η₀ = 120π ≈ 377 Ω，k̂ = ẑ。

方向：ẑ × x̂ = ŷ

H(z,t) = ŷ·(10/η₀)·cos(9π×10⁸t − 3πz)

振幅：10/(120π) = 1/(12π) ≈ 0.0265 A/m = 26.5 mA/m

答：H(0,t) = ŷ·(1/12π)·cos(9π×10⁸t) ≈ ŷ·0.0265·cos(9π×10⁸t) (A/m)

配分建議

η₀ = 120π ≈ 377 Ω 25%；方向 ŷ（由 k̂×E 或 E×H 沿傳播方向判斷）35%；振幅與完整表示式 40%。（寫成 B 場 3.33×10⁻⁸ T 者未答「磁場強度 H」，酌扣）

例題 5｜介質中之波長（f = 3 GHz，εᵣ = 7，μᵣ = 3）

v_p = c/√(μᵣεᵣ) = 3×10⁸/√21 = 3×10⁸/4.583 ≈ 6.55×10⁷ m/s

λ = v_p/f = (6.55×10⁷)/(3×10⁹) = 0.0218 m ≈ 2.18 cm

（亦可 λ = λ₀/√(μᵣεᵣ) = 10 cm/√21 = 2.18 cm）

配分建議

v_p = c/√(μᵣεᵣ)（或等效式）50%；數值 2.18 cm 50%。

例題 6｜介質之特性阻抗（本質阻抗）

η = √(μ/ε) = η₀·√(μᵣ/εᵣ) = 120π·√(3/7) = 377×0.6547

答：η ≈ 246.8 Ω ≈ 247 Ω

配分建議

η = η₀√(μᵣ/εᵣ) 50%；數值 ≈247 Ω 50%。（√(εᵣ/μᵣ) 倒置者為常見錯誤，公式分不予）

例題 7｜極化狀態：E = (x̂·j + ŷ)e^(−jkz)

解：

兩分量：E_x = j = 1∠90°，E_y = 1∠0° → 振幅相等、相位差 90° → 圓極化。

判斷旋向（時域，取 z = 0）：

E_x(t) = Re[j·e^(jωt)] = −sin(ωt)；E_y(t) = Re[e^(jωt)] = cos(ωt)

ωt = 0：E 指向 +y
ωt = π/2：E 指向 −x
ωt = π：E 指向 −y
ωt = 3π/2：E 指向 +x

右手拇指指向傳播方向 +z 時，四指恰沿 +y → −x → −y → +x 之旋轉方向 → 右旋。

（相量檢驗：(jx̂ + ŷ) = j(x̂ − jŷ)，整體因子 j 不影響極化；(x̂ − jŷ)e^(−jkz) 為標準右旋圓極化。）

答：圓極化，右旋（RHCP，IEEE／電機慣例，即 Cheng 教科書之 positive circular polarization）

配分建議

指出等振幅、相位差 90° → 圓極化 40%；時域（或相量）旋向分析正確 40%；旋向命名正確 20%。

改卷注意：若課程採光學慣例（面向來波觀察），同一波會稱「左旋」；請依授課慣例認定，但「圓極化＋正確旋轉分析」應給大部分分數。

例題 8｜銅在 20 GHz 之集膚深度

δ = 1/√(πfμσ)，其中 f = 2×10¹⁰ Hz，μ = μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m，σ = 5.813×10⁷ S/m。

πfμσ = π×(2×10¹⁰)×(4π×10⁻⁷)×(5.813×10⁷) = 8π²×5.813×10¹⁰ ≈ 4.590×10¹²
√(4.590×10¹²) ≈ 2.142×10⁶

答：δ = 1/(2.142×10⁶) ≈ 4.67×10⁻⁷ m ≈ 0.467 μm

配分建議

δ = 1/√(πfμσ)（或 √(2/ωμσ)）40%；代入過程 30%；數值 ≈0.467 μm 30%。

例題 9｜反射角（θᵢ = 45°，空氣→εᵣ=5.5 無損介質，平行極化）

反射定律（Snell 反射定律）：反射角恆等於入射角，與介質及極化無關：

答：θᵣ = θᵢ = 45°

配分建議

引用反射定律 60%；θᵣ = 45° 40%。

例題 10｜透射角

司乃耳折射定律：n₁sinθᵢ = n₂sinθₜ，其中 n = √(μᵣεᵣ)，n₁ = 1，n₂ = √5.5 ≈ 2.345。

sinθₜ = sin45°/√5.5 = 0.7071/2.345 = 0.3015

答：θₜ = sin⁻¹(0.3015) ≈ 17.55° ≈ 17.5°

配分建議

Snell 定律 40%；正確代入 sinθₜ = 0.3015 40%；θₜ ≈ 17.5° 20%。

例題 11｜純水（εᵣ = 80）之布魯斯特角（平行極化）

tanθ_B = √(ε₂/ε₁) = √80 ≈ 8.944

答：θ_B = tan⁻¹(√80) ≈ 83.6°

（等價式：θ_B = sin⁻¹√(ε₂/(ε₁+ε₂)) = sin⁻¹√(80/81) ≈ 83.6° ✓）

配分建議

tanθ_B = √(ε₂/ε₁)（或等價式）50%；數值 ≈83.6° 50%。

第六章

例題 1–3 共用：Z₀ = 50 Ω，線長 l = λ/4，Z_L → ∞（開路）。

例題 1｜負載端反射係數

Γ_L = (Z_L − Z₀)/(Z_L + Z₀)

Z_L → ∞ 時，分子分母同除以 Z_L：Γ_L = (1 − Z₀/Z_L)/(1 + Z₀/Z_L) → 1

答：Γ_L = +1（即 |Γ_L| = 1，相角 0°）

配分建議

反射係數定義式 50%；極限值 +1 50%。（只寫 1 未表明正號亦可全給）

例題 2｜駐波比

SWR = (1 + |Γ_L|)/(1 − |Γ_L|) = (1+1)/(1−1)

答：SWR → ∞（全反射，駐波比無窮大）

配分建議

SWR 公式 50%；答 ∞ 50%。

例題 3｜輸入阻抗

四分之一波長線：βl = (2π/λ)(λ/4) = π/2，tan(βl) → ∞，輸入阻抗公式退化為阻抗反轉：

Z_in = Z₀²/Z_L = 50²/∞

答：Z_in = 0 Ω（開路經 λ/4 線變換為短路）

（亦可由開路線公式 Z_in = −jZ₀cot(βl)，cot(π/2) = 0 → Z_in = 0 ✓）

配分建議

βl = π/2 與 λ/4 變換式 Z_in = Z₀²/Z_L（或開路線 −jZ₀cotβl）50%；答 0 Ω 50%。

例題 4｜相位速度（100 m 線，L = 27 μH，C = 18 nF）

先化為單位長度參數：

L′ = 27 μH/100 m = 2.7×10⁻⁷ H/m；C′ = 18 nF/100 m = 1.8×10⁻¹⁰ F/m

v_p = 1/√(L′C′) = 1/√(2.7×10⁻⁷ × 1.8×10⁻¹⁰) = 1/√(4.86×10⁻¹⁷) = 1/(6.97×10⁻⁹)

答：v_p ≈ 1.43×10⁸ m/s（約 0.48c）

（等價作法：延遲 τ = √(LC) = √(27μH×18nF) = 0.697 μs，v_p = 100 m/0.697 μs = 1.43×10⁸ m/s；
注意：直接用總量算 1/√(LC) 者得 1.43×10⁶ m/s，量綱錯誤，僅給公式概念分）

配分建議

化成單位長度 L′、C′（或等價之 l/√(LC)）40%；v_p = 1/√(L′C′) 30%；數值 1.43×10⁸ m/s 30%。

例題 5｜兩段 λ/4 線串接之輸入阻抗

（依圖 2：由輸入端起第一段特性阻抗 2Z₀，第二段 Z₀，末端接 Z_L）

λ/4 線之阻抗變換：Z_in = Z_c²/Z_load（Z_c 為該段特性阻抗）

步驟 1：第二段（Z₀，接 Z_L）之輸入阻抗：

Z₁ = Z₀²/Z_L

步驟 2：Z₁ 作為第一段（2Z₀）之負載：

Z_in = (2Z₀)²/Z₁ = 4Z₀²/(Z₀²/Z_L)

答：Z_in = 4Z_L

配分建議

λ/4 變換式 20%；第一次變換 Z₁ = Z₀²/Z_L 30%；第二次變換與化簡得 4Z_L 50%。（兩段順序顛倒者得 Z_L/4，屬誤讀圖，給公式與過程分約一半）

例題 6｜無損傳輸線之特性阻抗（R = G = 0）

由圖 3 等效電路寫電報方程式（相量形式）：

−dV/dz = (R + jωL)I；−dI/dz = (G + jωC)V

特性阻抗定義為行進波之電壓電流比：

Z₀ = √[(R + jωL)/(G + jωC)]

令 R = G = 0：Z₀ = √(jωL/jωC)

答：Z₀ = √(L/C)（純實數，L、C 為單位長度電感與電容）

配分建議

一般式 √[(R+jωL)/(G+jωC)]（或由電報方程式推導）50%；代入 R=G=0 得 √(L/C) 50%。

例題 7｜無損傳輸線之相位常數 β

傳播常數：γ = √[(R + jωL)(G + jωC)]

令 R = G = 0：γ = √[(jωL)(jωC)] = jω√(LC)，即 α = 0、γ = jβ

答：β = ω√(LC)（rad/m）

配分建議

γ 一般式 50%；得 β = ω√(LC)（且知 α = 0）50%。

例題 8｜有損傳輸線之特性阻抗（R = G ≠ 0）

有損時（R、G 皆不為零），特性阻抗為一般複數式：

答：Z₀ = √[(R + jωL)/(G + jωC)]（複數）

配分建議

正確一般式 100%（寫出由電報方程式而來之依據者，公式 60%＋推導 40%；只背公式且正確亦可全給）。

例題 9｜有損傳輸線之傳播常數 γ

答：γ = √[(R + jωL)(G + jωC)] = α + jβ（α 為衰減常數 Np/m，β 為相位常數 rad/m）

配分建議

正確一般式 60%；註明 γ = α + jβ 之物理意義 40%。

例題 10｜何時無駐波？

駐波源自負載反射波與入射波之疊加。反射係數 Γ_L = (Z_L − Z₀)/(Z_L + Z₀) = 0 時無反射波，即無駐波。

答：當負載匹配 Z_L = Z₀ 時（Γ_L = 0，全部功率被負載吸收），線上無駐波

配分建議

Γ_L = 0 之論證 50%；Z_L = Z₀ 50%。

例題 11｜短路（Z_L = 0）之輸入阻抗

一般式：Z_in = Z₀·(Z_L + jZ₀tanβl)/(Z₀ + jZ_L tanβl)

令 Z_L = 0：

答：Z_in = jZ₀tan(βl)（純電抗，l 為線長；隨 l 可呈感性或容性）

配分建議

一般輸入阻抗式 50%；代入 Z_L = 0 得 jZ₀tanβl 50%。

例題 12｜由駐波波形求駐波比（圖 5：最大 4 V，最小 2 V）

SWR 定義：S = |V|max/|V|min = 4/2

答：S = 2

配分建議

S = Vmax/Vmin 50%；數值 2 50%。

例題 13｜對應之反射係數大小 |Γ_L|

S = (1 + |Γ_L|)/(1 − |Γ_L|) ⇒ |Γ_L| = (S − 1)/(S + 1) = (2−1)/(2+1)

答：|Γ_L| = 1/3 ≈ 0.333

配分建議

S 與 |Γ| 關係式 50%；解出 1/3 50%。

快速對答表

題號	答案
4-1	四條 Maxwell 方程式；∇·J = −∂ρᵥ/∂t
4-2	L′ = μ₀d/w
4-3	M = (μ₀b/2π)ln(a/d)
4-4	θ = 30°（150° 亦可）
4-5	ωε/σ
5-1	3×10⁸ m/s
5-2	+z 方向
5-3	2/3 m ≈ 0.667 m
5-4	H = ŷ(10/377)cos(9π×10⁸t) ≈ ŷ·26.5cos(9π×10⁸t) mA/m
5-5	2.18 cm
5-6	≈ 246.8 Ω
5-7	右旋圓極化（RHCP，IEEE 慣例）
5-8	≈ 0.467 μm
5-9	45°
5-10	≈ 17.5°
5-11	≈ 83.6°
6-1	Γ_L = +1
6-2	SWR → ∞
6-3	Z_in = 0 Ω
6-4	1.43×10⁸ m/s
6-5	Z_in = 4Z_L
6-6	Z₀ = √(L/C)
6-7	β = ω√(LC)
6-8	Z₀ = √[(R+jωL)/(G+jωC)]
6-9	γ = √[(R+jωL)(G+jωC)] = α+jβ
6-10	Z_L = Z₀（匹配）
6-11	Z_in = jZ₀tan(βl)
6-12	S = 2
6-13	\|Γ_L\| = 1/3