📚 《電磁學(II) 完全攻略講義》系列：本文是第 1 篇（共 6 篇）
Part 0｜工具箱（本篇） ・ Part 1｜第四章 ・ Part 2｜第五章 ・ Part 3｜第六章 ・ Part 4｜附錄 ・ Part 5｜增補篇
文中 §0.x～§3.x 編號依序位於 Part 0～3；附錄 A～E 在 Part 4、附錄 F～N 在 Part 5。

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第四章 · 第五章 · 第六章 —— 從觀念到滿分的一本通

本講義的承諾：讀完並做完本書所有推導與例題，你將能「不看答案、不查公式、憑理解」完整解出《電磁學(II) 作業題目（第 4、5、6 章）》的全部 29 題，而且知道每一步「為什麼可以這樣做」。

本講義的寫法：每個觀念都給三層——

• 🎯 【嚴格版】 課本／考卷上該寫的正式敘述與公式
• 💬 【白話版】 用高中程度的生活比喻把它講成人話
• 🔍 【為什麼】 完整不跳步的邏輯推理，一個環節都不省

搭配教材：David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics（本課程符號沿用此書：單位向量寫作 ê_x, ê_y, ê_z，本講義為排版方便亦寫作 x̂, ŷ, ẑ，兩者完全相同）。

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📖 目錄

Part	內容	對應題目
Part 0	開工前的工具箱（向量微積分・相量・量綱）	全部題目的地基
Part 1	第四章：時變電磁場與馬克斯威爾方程式	4-1 ~ 4-5
Part 2	第五章：平面電磁波	5-1 ~ 5-11
Part 3	第六章：傳輸線	6-1 ~ 6-13
Part 4	附錄：速查卡・陷阱地圖・自我測驗・考前清單	—
Part 5	增補篇（導覽・方法論・口訣・LaTeX 對照）	—

建議讀法

• 時間充足（3 天以上）：Part 0 → Part 1 → Part 2 → Part 3 → Part 4，順序讀完，每個推導都自己動筆重做一次。
• 時間普通（1 天）：Part 0 的 §0.4（相量）+ §0.5（量綱）→ 三章的「觀念地圖」與「解題 SOP」→ 全部例題詳解 → Part 4 陷阱地圖。
• 時間緊迫（3 小時）：Part 4 速查卡 → 全部例題詳解的「三行摘要」→ Part 4 陷阱地圖 → 快速對答表。

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§0.1 三章地圖：先看懂全局，再鑽細節

很多人念電磁學會迷路，是因為看到一堆 ∇、∮、e^(−jkz) 卻不知道「這是要幹嘛」。所以我們先花三分鐘把全局講清楚。

   第四章  ──────>  第五章  ──────>  第六章
   「規則書」        「自由空間的解」    「導引結構的解」

   Maxwell 四方程式   電磁波在無邊無際   把波關進兩根導線之間
   （電與磁如何       的空間中怎麼跑、   （或同軸線、微帶線），
     互相產生）       撞到界面怎麼辦     改用 V、I 來描述

💬 【白話版】

• 第四章 = 文法書。它告訴你「電場」和「磁場」這兩個角色互動的四條鐵律。最關鍵的新發現是：變化的磁場會生電場，變化的電場也會生磁場。兩者可以互相接力。
• 第五章 = 用這套文法寫的第一首詩：自由詩。既然電生磁、磁生電可以接力，那它們就能脫離電荷與電流「自己跑掉」——這就是電磁波（光、無線電、微波、X 光全都是）。第五章研究它在空氣、玻璃、水、銅裡怎麼跑，撞到界面怎麼反射折射。
• 第六章 = 用這套文法寫的第二首詩：格律詩。如果我不讓波亂跑，而是用兩根平行導線把它「夾住」引導，那用場（E、H）來描述太麻煩，改用電壓 V 和電流 I 就好。這就是傳輸線理論。

🎯 【最重要的一句話】

第六章其實就是第五章換一套語言在講同一件事。 V 對應 E，I 對應 H，L 對應 μ，C 對應 ε，特性阻抗 Z₀ 對應本質阻抗 η。學會其中一邊，另一邊幾乎免費奉送。（完整對照表見 §3.9，這張表能讓你的記憶量直接砍半。）

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§0.2 符號與單位總表（貼在桌前）

符號	名稱	單位	常見值／備註
E	電場強度	V/m	向量
D	電通量密度（電位移）	C/m²	D = εE
H	磁場強度	A/m	向量。注意：「磁場強度」專指 H，不是 B！
B	磁通量密度	T (= Wb/m²)	B = μH
J	傳導電流密度	A/m²	J = σE（歐姆定律微分形式）
J_d	位移電流密度	A/m²	J_d = ∂D/∂t
J_s / K	面電流密度	A/m	「每公尺寬度流多少安培」
ρ_v	體電荷密度	C/m³
ρ_s	面電荷密度	C/m²
ε	介電係數	F/m	ε = ε₀ε_r
ε₀	真空介電係數	F/m	8.854×10⁻¹² ≈ (1/36π)×10⁻⁹
μ	磁導係數	H/m	μ = μ₀μ_r
μ₀	真空磁導係數	H/m	4π×10⁻⁷（這是定義值，要背）
σ	導電率	S/m	銅 5.813×10⁷ ~ 5.8×10⁷
c	光速	m/s	1/√(μ₀ε₀) = 2.998×10⁸ ≈ 3×10⁸
η	本質阻抗	Ω	η = √(μ/ε)
η₀	自由空間本質阻抗	Ω	√(μ₀/ε₀) = 120π ≈ 377
ω	角頻率	rad/s	ω = 2πf
f	頻率	Hz
k (或 β)	波數／相位常數	rad/m	k = ω√(με) = 2π/λ
λ	波長	m	λ = 2π/k
v_p	相位速度	m/s	v_p = ω/k = λf
γ	傳播常數	1/m	γ = α + jβ
α	衰減常數	Np/m
δ	集膚深度	m	δ = 1/α
L	電感（或單位長度電感）	H（或 H/m）	看清楚有沒有「每公尺」！
C	電容（或單位長度電容）	F（或 F/m）	同上，這是 6-4 的死亡陷阱
Z₀	特性阻抗	Ω	Z₀ = √(L/C)（無損）
Z_L	負載阻抗	Ω
Γ	反射係數	無因次	複數，|Γ| ≤ 1（被動負載）
S (SWR)	駐波比	無因次	1 ≤ S ≤ ∞

記憶關鍵字

• μ₀ = 4π×10⁻⁷ 與 η₀ = 120π 這兩個一定要能默寫。
• 它們之間有個超漂亮的關係：η₀ = μ₀c = (4π×10⁻⁷)(3×10⁸) = 120π。忘了其中一個可以用另一個推。
  （推導：η₀ = √(μ₀/ε₀) = μ₀/√(μ₀ε₀) = μ₀ · (1/√(μ₀ε₀)) = μ₀c ✓）

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§0.3 向量微積分白話版

這一節是整個電磁學的地基。看不懂 ∇ 的人，看 Maxwell 方程式就像看無字天書。

0.3.1 ∇ 是什麼？

∇（讀作 "del" 或 "nabla"）是一台**「對空間做微分的機器」**。在直角座標中：

   ∇ = x̂ (∂/∂x) + ŷ (∂/∂y) + ẑ (∂/∂z)

它本身「半個向量、半個運算子」。它有三種用法，取決於你把它跟什麼東西放在一起：

寫法	作用對象	結果	名稱
∇f	純量場 f	向量	梯度 (gradient)
∇·A	向量場 A（點乘）	純量	散度 (divergence)
∇×A	向量場 A（叉乘）	向量	旋度 (curl)

0.3.2 梯度 ∇f：最陡的上坡方向

   ∇f = x̂ (∂f/∂x) + ŷ (∂f/∂y) + ẑ (∂f/∂z)

💬 【白話版】 你站在一座山上，f 是你所在位置的高度。∇f 就是一根箭頭：它指向最陡的上坡方向，箭頭的長度代表有多陡。在平地上，∇f = 0。

在電磁學裡最常見的用法：E = −∇V（電場指向電位下降最快的方向；負號代表「正電荷會往低電位滾」，就像球會往下坡滾）。

0.3.3 散度 ∇·A：這一點是水龍頭還是排水孔？

   ∇·A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z      （結果是純量）

💬 【白話版】 把向量場 A 想成水流的速度場。在空間中某一點畫一個超小的方盒子，量測「流出去的水 − 流進來的水」，再除以盒子體積。

• ∇·A > 0 → 這一點是源頭（水龍頭），水在這裡憑空冒出來
• ∇·A < 0 → 這一點是匯（排水孔），水在這裡消失
• ∇·A = 0 → 進來多少出去多少，這一點不生不滅

🎯 電磁學的兩條散度方程式因此有極清楚的物理意義：

• ∇·D = ρ_v：電場線的「源頭」就是正電荷，「終點」就是負電荷。電荷是電場的水龍頭。
• ∇·B = 0：磁場線沒有源頭也沒有終點，永遠自己繞回自己。這就是「沒有磁單極」——你把磁鐵切成兩半，不會得到單獨的 N 極，只會得到兩根更小的磁鐵。

0.3.4 旋度 ∇×A：放一個小水車進去會不會轉？

             | x̂      ŷ      ẑ  |
   ∇×A =    | ∂/∂x   ∂/∂y   ∂/∂z |
             | A_x    A_y    A_z |

        = x̂ (∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z) + ŷ (∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x) + ẑ (∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y)

💬 【白話版】 還是把 A 想成水流。在某一點放一個超小的水車（葉片輪）。

• 水車會轉 → 那裡的旋度不為零
• 旋度的大小 = 轉多快
• 旋度的方向 = 水車的轉軸方向（用右手定則：四指順著水車轉動方向，拇指就是旋度方向）

🎯 電磁學的兩條旋度方程式：

• ∇×E = −∂B/∂t：變化的磁場會讓電場「打轉」。電場線繞成一圈圈——這就是為什麼線圈裡會產生電流（電子沿著圈跑）。
• ∇×H = J + ∂D/∂t：電流和變化的電場會讓磁場「打轉」。這就是為什麼電線周圍的磁場繞著電線轉圈。

0.3.5 兩大定理：微分形式 ↔ 積分形式的橋樑

考試常問「寫出微分形式與積分形式」，你必須知道兩者是靠這兩個定理互換的。

① 散度定理（高斯定理）

   ∮_S A · dS  =  ∫_V (∇·A) dV
   ─────────      ────────────
   從封閉面 S      面內所有小源頭
   總共流出多少     加起來的總和

💬 【白話】 一棟大樓總共漏出多少水 = 樓裡每個水龍頭漏水量的總和。這是廢話，但寫成數學就很有威力。

② 斯托克斯定理

   ∮_C A · dl  =  ∫_S (∇×A) · dS
   ─────────      ─────────────
   沿著邊界曲線     曲面內所有小漩渦
   C 繞一圈的總和   加起來的總和

💬 【白話】 沿著一片水池的岸邊走一圈，你感受到的「順著水流走的總量」= 水池裡所有小漩渦的總和。中間相鄰漩渦的交界處會互相抵消，只剩最外圈的邊界。

用法示範（法拉第定律 微分 → 積分）

   ∇×E = −∂B/∂t                                    （微分形式）

   兩邊對同一個曲面 S 做面積分：
   ∫_S (∇×E)·dS = −∫_S (∂B/∂t)·dS

   左邊用斯托克斯定理 → ∮_C E·dl
   右邊把 ∂/∂t 拉到積分外（S 不隨時間變時）→ −(d/dt)∫_S B·dS = −dΦ_B/dt

   ∮_C E·dl = −dΦ_B/dt                             （積分形式）✓

0.3.6 兩個必背恆等式（4-1 題直接考）

恆等式 A：任何旋度的散度恆為零

   ∇ · (∇ × A) ≡ 0        （對任意可微向量場 A 都成立，無條件）

🔍 【為什麼】完整證明（直角座標展開）

   先寫出旋度的三個分量：
   (∇×A)_x = ∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z
   (∇×A)_y = ∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x
   (∇×A)_z = ∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y

   再取散度：
   ∇·(∇×A) = ∂/∂x (∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z)
           + ∂/∂y (∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x)
           + ∂/∂z (∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y)

   展開成六項：
           =  ∂²A_z/∂x∂y  −  ∂²A_y/∂x∂z
            + ∂²A_x/∂y∂z  −  ∂²A_z/∂y∂x
            + ∂²A_y/∂z∂x  −  ∂²A_x/∂z∂y

   關鍵：混合偏微分可交換次序（Clairaut/Schwarz 定理），
        即 ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x

   第 1 項 與 第 4 項：∂²A_z/∂x∂y − ∂²A_z/∂y∂x = 0
   第 2 項 與 第 5 項：−∂²A_y/∂x∂z + ∂²A_y/∂z∂x = 0
   第 3 項 與 第 6 項：∂²A_x/∂y∂z − ∂²A_x/∂z∂y = 0

   ∴ ∇·(∇×A) ≡ 0   ∎

💬 【白話版】 旋度場的力線一定是閉合的圈圈（沒有起點、沒有終點）。既然沒有起點終點，任何封閉曲面「進去多少就一定出來多少」，淨流出量當然是零。

🎯 這個恆等式就是 4-1 題（推導連續方程式）的核心工具。

恆等式 B：任何梯度的旋度恆為零

   ∇ × (∇f) ≡ 0

💬 【白話版】 在山上繞一圈回到原點，總高度變化必為 0（不然你就發明了永動機）。

恆等式 C：雙重旋度展開（推導波動方程式必備）

   ∇ × (∇ × A) = ∇(∇·A) − ∇²A

這條在 §2.1 推波動方程式時會用到，是 Part 2 的鑰匙。記法：「旋旋 = 散梯 − 拉普拉斯」。

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§0.4 相量 (Phasor)：把微分變成乘法的魔法

這一節是第五、六章的入場券。 沒搞懂相量，看到 e^(−jkz) 就會當機。

0.4.1 動機：為什麼要引入複數？

電磁學裡幾乎所有訊號都是同一個頻率 ω 的正弦波：

   E(z,t) = E₀ cos(ωt − kz + φ)

如果直接對這種式子做微分方程運算，會出現一堆 sin、cos 混在一起，非常痛苦。

💬 【白話版】 想像一整個班級的人都在用同樣的速度繞著圓圈跑。既然大家速度一樣，我們就不用一直重複「他在跑」這件事——只要記錄「他起跑時站在哪個角度」和「他離圓心多遠」就完全描述了他的運動。

「離圓心多遠」= 振幅；「起跑角度」= 相位。把這兩個資訊打包成一個複數，就是相量。

0.4.2 定義

由歐拉公式 e^(jθ) = cos θ + j sin θ（j = √−1，工程界用 j 而非 i，因為 i 留給電流）：

   cos θ = Re{ e^(jθ) }

所以：

   A(t) = A₀ cos(ωt + φ)
        = Re{ A₀ e^(j(ωt+φ)) }
        = Re{ A₀ e^(jφ) · e^(jωt) }
                ─────────
                  這就是相量 Ã

定義：

   時域 A(t) = A₀cos(ωt + φ)   ⟺   相量 Ã = A₀ e^(jφ) = A₀∠φ

   還原公式：A(t) = Re{ Ã · e^(jωt) }

0.4.3 相量的超能力：微分 → 乘 jω

🔍 【為什麼】

   A(t) = Re{Ã e^(jωt)}

   ∂A/∂t = Re{ à · d(e^(jωt))/dt } = Re{ à · jω · e^(jωt) } = Re{ (jωÃ) e^(jωt) }

   對照定義：∂A/∂t 的相量就是 jωà    ∎

🎯 【超級重要的字典】

時域運算	相量運算
∂/∂t	× jω
∂²/∂t²	× (jω)² = −ω²
∫ dt	÷ jω
∂/∂z（對空間）	仍然是 ∂/∂z（相量只處理時間！）

💬 【白話版】 相量把「微分方程」變成「代數方程」。這就像把「乘法」變成「加法」的對數一樣，是工程數學上最偉大的省力工具。

0.4.4 j 的幾何意義（很多人沒被教過，但超好用）

   j = e^(j·90°)     →   乘以 j = 把向量逆時針轉 90°
   −j = e^(−j·90°)   →   乘以 −j = 把向量順時針轉 90°
   j² = −1           →   轉兩次 90° = 轉 180° = 變號 ✓

因此：

時域	相量	幾何意義
cos(ωt)	1	基準
cos(ωt + 90°) = −sin(ωt)	j	超前 90°
cos(ωt − 90°) = +sin(ωt)	−j	落後 90°
cos(ωt + 180°) = −cos(ωt)	−1	反相

⚠️ 最常錯的一條：sin(ωt) 的相量是 −j，不是 j！ 因為 sin(ωt) = cos(ωt − 90°)（sin 落後 cos 90 度）。

0.4.5 Maxwell 方程式的相量形式

把時域方程式的每個 ∂/∂t 換成 jω：

時域	相量域
∇×E = −∂B/∂t	∇×E = −jωμH
∇×H = J + ∂D/∂t	∇×H = (σ + jωε)E
∇·D = ρ_v	∇·(εE) = ρ_v
∇·B = 0	∇·(μH) = 0

0.4.6 行進波的相量（第五、六章天天用）

   時域：E₀ cos(ωt − kz)      ⟺   相量：E₀ e^(−jkz)
   時域：E₀ cos(ωt + kz)      ⟺   相量：E₀ e^(+jkz)

🎯 【生死攸關的方向口訣】

相量中指數為「負」→ 波往「正」方向跑。
e^(−jkz) → 往 +z；e^(+jkz) → 往 −z。

時域中 cos(ωt − kz) → 往 +z；cos(ωt + kz) → 往 −z。
時域看「t 和 z 中間的符號」，相反號就是正方向。

🔍 【為什麼】完整推理（5-2 題的標準答法）

   考慮一個固定的「波峰」，它滿足「總相位 = 常數」：
        ωt − kz = C（某常數）

   解出這個波峰所在的位置 z：
        z = (ωt − C)/k

   對時間微分，得到這個波峰移動的速度：
        dz/dt = ω/k > 0

   速度為正 ⟹ 波峰的位置隨時間增加而往 +z 移動 ⟹ 波往 +z 傳播。   ∎

💬 【白話版】 相位 (ωt − kz) 是波的「身分證號碼」。時間 t 一直往前走，會讓 ωt 變大；為了讓身分證號碼保持不變（同一個波峰），kz 也必須跟著變大 → z 必須變大 → 波峰往 +z 走。

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§0.5 工程師的保命符：量綱分析

這一節是我私心認為投資報酬率最高的一節。它只要 5 秒鐘，卻能救回整題的分數。

🎯 【核心原則】 算完任何一題，先看單位對不對。單位錯 = 一定錯，不用檢查數字。

0.5.1 電磁學單位換算鏈

   [L] = H = Wb/A = V·s/A
   [C] = F = C/V  = A·s/V
   [μ] = H/m,  [ε] = F/m
   [Ω] = V/A

0.5.2 三個必查組合

① √(LC) 是「秒」，不是「秒/公尺」

   [√(L·C)] = √( (V·s/A) × (A·s/V) ) = √(s²) = s        ← 純粹的「秒」

   所以 1/√(LC) 的單位是 1/s = Hz，  ✗ 不是速度！

   [√(L′·C′)] = √( (H/m) × (F/m) ) = √(s²/m²) = s/m     ← L′、C′ 是「每公尺」的量

   所以 1/√(L′C′) 的單位是 m/s ✓ 這才是速度！

⚠️ 這正是【例題 6-4】的死亡陷阱：題目給的 27 μH、18 nF 是整條 100 m 線的總量，必須先除以 100 m 變成單位長度量，否則算出來的 1.43×10⁶ 單位是 Hz 不是 m/s，答案會差 100 倍。

② √(L/C) 與 √(μ/ε) 都是「歐姆」

   [√(L/C)] = √( (V·s/A) ÷ (A·s/V) ) = √(V²/A²) = V/A = Ω ✓
   [√(μ/ε)] = √( (H/m) ÷ (F/m) )     = √(H/F)   = Ω ✓

所以 Z₀ = √(L/C) 與 η = √(μ/ε) 都是阻抗，單位歐姆。
若你不小心寫成 √(C/L) 或 √(ε/μ)，單位會變成西門子 (S)，馬上就知道倒過來了。

③ 1/√(με) 是速度

   [1/√(μ·ε)] = 1 / √( (H/m)(F/m) ) = 1/(s/m) = m/s ✓

驗算：1/√(4π×10⁻⁷ × 8.854×10⁻¹²) = 2.998×10⁸ m/s = 光速 ✓

0.5.3 其他快速自檢清單

檢查項	正確性質
電感 L	只與幾何 + 材料有關，答案裡絕不能出現電流 I（出現 = 算錯）
電容 C	同上，答案裡絕不能出現電壓 V 或電荷 Q
反射係數 Γ	無因次，被動負載時 |Γ| ≤ 1（算出 1.5 一定錯）
駐波比 S	S ≥ 1 恆成立（算出 0.5 一定錯）
相位速度 v_p	在一般介質中 v_p ≤ c（算出 5×10⁸ 一定錯）
折射率 n	n = √(μ_r ε_r) ≥ 1（一般材料）
集膚深度 δ	好導體在微波頻段 δ 應在 μm 量級（算出 mm 或 nm 要警覺）
透射角 θ_t	進入光密介質（n₂ > n₁）時 θ_t < θ_i（折向法線）

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§0.6 常用數學小抄

三角函數

   sin 30° = 0.5      sin 45° = √2/2 ≈ 0.7071    sin 60° = √3/2 ≈ 0.866
   cos 0° = 1         cos 90° = 0
   tan 45° = 1
   sin(θ ± 90°) = ±cos θ          cos(θ ± 90°) = ∓sin θ
   sin(180° − θ) = sin θ          ← 4-4 題「還有第二個解」的來源
   sin²θ + cos²θ = 1

歐拉與複數

   e^(jθ) = cos θ + j sin θ
   cos θ = (e^(jθ) + e^(−jθ))/2          sin θ = (e^(jθ) − e^(−jθ))/(2j)
   √j  = e^(jπ/4)  = (1 + j)/√2
   √−j = e^(−jπ/4) = (1 − j)/√2          ← 推導集膚深度的關鍵
   |a + jb| = √(a² + b²)                  ∠(a+jb) = tan⁻¹(b/a)
   1/j = −j

對數與積分

   ∫ dr/r = ln r + C            ← 互感題（4-3）唯一用到的積分
   ln(a/b) = ln a − ln b
   ∫ (from d to a) dr/r = ln a − ln d = ln(a/d)

叉積速查（右手系循環）

   x̂ × ŷ = ẑ        ŷ × ẑ = x̂        ẑ × x̂ = ŷ         （順序循環，為正）
   ŷ × x̂ = −ẑ       ẑ × ŷ = −x̂       x̂ × ẑ = −ŷ        （逆序，加負號）
   任何向量與自己的叉積 = 0：x̂ × x̂ = 0

   記憶圖：      x̂ ──→ ŷ
                 ↖     ↙
                    ẑ           順時針方向走 = 正號，逆著走 = 負號

常用近似

   √21 ≈ 4.583     √5.5 ≈ 2.345     √80 ≈ 8.944     √3/7 ≈ 0.6547
   π ≈ 3.1416      120π ≈ 377       4π² ≈ 39.48