電磁學(II)完全攻略講義 Part 5｜增補篇：口訣・阻抗區辨・LaTeX 速查
📚 《電磁學(II) 完全攻略講義》系列：本文是第 6 篇（共 6 篇）
Part 0｜工具箱 ・ Part 1｜第四章 ・ Part 2｜第五章 ・ Part 3｜第六章 ・ Part 4｜附錄 ・ Part 5｜增補篇（本篇）
文中 §0.x～§3.x 編號依序位於 Part 0～3；附錄 A～E 在 Part 4、附錄 F～N 在 Part 5。
這一篇的來源：整合另一份講義
study_agy.md中值得吸收的優點，補進本書原本沒有的東西。
原有內容一字未刪，以下全部是新增。補了哪些：
附錄 補進來的東西 為什麼值得補 F 系列導覽與全書章節總覽（網頁版改編） 講義在網站上分成六篇，需要一張跨篇的導覽地圖 G 微分形式 vs. 積分形式的使用時機 本書兩種形式都給了，但沒說「什麼時候該用哪個」 H 傳輸線家族總覽 本書只講理論，沒說這些線長什麼樣、用在哪 I 生活類比索引（30 條） 把散落各章的比喻集中成複習卡，並補上新的比喻 J 口訣與記憶法總表 補上「μ上ε下」等本書沒有的記憶法 K η / Z₀ / Z_in / Z_L 四種「阻抗」的區辨 這四個最容易混，值得一張表講清楚 L LaTeX 版公式速查表 本書主體用 Unicode（到處都能顯示），這裡補上 LaTeX 版，在 Typora / Obsidian / VS Code / HackMD 中會渲染成漂亮的數學排版
附錄 F：系列導覽與全書章節總覽
原講義此處是單一檔案內的錨點跳轉目錄；網頁版把講義分成六篇文章，
因此改為全系列章節總覽——點各 Part 標題即可跳到該篇文章。
- §0.1 三章地圖：先看懂全局，再鑽細節
- §0.2 符號與單位總表（貼在桌前）
- §0.3 向量微積分白話版
- §0.4 相量 (Phasor)：把微分變成乘法的魔法
- §0.5 工程師的保命符：量綱分析
- §0.6 常用數學小抄
- §1.1 為什麼需要「時變」電磁學？
- §1.2 法拉第感應定律
- §1.3 位移電流：物理史上最偉大的「補丁」
- §1.4 馬克斯威爾方程式完整檔案（4-1 題直接默寫）
- §1.5 連續方程式與電荷守恆（4-1 的第二問）
- §1.6 邊界條件（第五章反射折射的基礎）
- §1.7 電感學：自感與互感
- §1.8 勞侖茲力與磁力
- §1.9 第四章解題 SOP 總表
- ★ 例題完整詳解：4-1 Maxwell 與連續方程式｜4-2 平行板單位長度電感｜4-3 互感｜4-4 磁力夾角｜4-5 位移電流比值
- §2.1 從 Maxwell 到波動方程式：電磁波是怎麼「跑出來」的
- §2.2 均勻平面波的解剖學
- §2.3 E 與 H 的鐵三角關係
- §2.4 波在無損介質中：三個公式
- §2.5 波在有損介質與導體中：集膚深度
- §2.6 極化 (Polarization)
- §2.7 波遇到界面：反射與折射
- §2.8 兩種極化與 Fresnel 反射係數
- §2.9 布魯斯特角 (Brewster Angle)
- §2.10 第五章解題 SOP 總表
- ★ 例題完整詳解：5-1 相位速度｜5-2 傳播方向｜5-3 波長｜5-4 磁場強度｜5-5 介質中波長｜5-6 本質阻抗｜5-7 極化狀態｜5-8 集膚深度｜5-9 反射角｜5-10 透射角｜5-11 布魯斯特角
- §3.1 為什麼需要傳輸線理論？普通電路學何時失效
- §3.2 分布參數模型
- §3.3 電報方程式的完整推導
- §3.4 解方程：傳播常數 γ 與特性阻抗 Z₀
- §3.5 反射係數
- §3.6 輸入阻抗公式（完整推導）
- §3.7 駐波與駐波比 (SWR)
- §3.8 λ/4 阻抗變換器與級聯
- §3.9 第五章 ↔ 第六章 統一對照表
- §3.10 第六章解題 SOP 總表
- ★ 例題完整詳解：6-1 反射係數｜6-2 駐波比｜6-3 輸入阻抗｜6-4 相位速度（頭號陷阱）｜6-5 兩段 λ/4 級聯｜6-6～6-9 Z₀ 與 γ｜6-10 無駐波條件｜6-11 短路輸入阻抗｜6-12～6-13 駐波圖判讀
- 附錄 A：一頁公式速查卡（考前 5 分鐘看這一頁）
- 附錄 B：陷阱地圖——最容易失分的 20+3 個地方
- 附錄 C：全部 29 題快速對答表
- 附錄 D：自我測驗（15 題變化題，含解答）
- 附錄 E：考前 30 分鐘複習清單
Part 5｜增補篇（本篇）
- 附錄 G：微分形式 vs. 積分形式——什麼時候用哪個？
- 附錄 H：傳輸線家族總覽
- 附錄 I：生活類比索引（30 條）
- 附錄 J：口訣與記憶法總表
- 附錄 K：η / Z₀ / Z_in / Z_L——四種「阻抗」的區辨
- 附錄 L：LaTeX 版公式速查表
- 附錄 M：LaTeX 版 29 題答案卡
- 附錄 N：Unicode ↔ LaTeX 符號對照
附錄 G：微分形式 vs. 積分形式 —— 什麼時候用哪個？
本書 §1.4 把 Maxwell 方程式的兩種形式都給了，但沒說「該用哪一個」。這其實是很實用的判斷，選錯形式會讓一題從 3 分鐘變成 30 分鐘。
G.1 兩種形式在描述什麼
微分形式 ∇×E = −∂B/∂t
─────────────────────────
描述【空間中一個點】上的關係。
「在這一個點，電場的旋轉程度 = 磁場在這一點的變化率」
積分形式 ∮_C E·dl = −dΦ_B/dt
─────────────────────────
描述【一整條迴路 / 一整個曲面】上的總效果。
「繞這一圈的總電動勢 = 穿過這一圈的總磁通變化率」
💬 【白話版】 微分形式像是「每一個像素的資訊」，積分形式像是「整張照片的總亮度」。兩者攜帶的資訊完全等價（靠散度定理與斯托克斯定理互換，見 §0.3.5），但用起來的難易度天差地別。
G.2 選擇指南
| 你要做的事 | 用哪個形式 | 原因 | 本書實例 |
|---|---|---|---|
| 理論推導（推連續方程式、推波動方程式） | 微分 | 微分形式可以直接套用 ∇·、∇× 等運算子與向量恆等式 | 例題 4-1、§2.1 |
| 利用對稱性求場 | 積分 | 對稱時場在路徑上是常數，可以直接提出積分外 → 一行解決 | 例題 4-3 的 B(r) = μ₀I/(2πr) |
| 算穿過某面的磁通量 Φ | 積分 | 磁通本來就定義成面積分 | 例題 4-2、4-3 |
| 算某條迴路的感應電動勢 EMF | 積分 | EMF 就是 ∮E·dl | 法拉第定律應用 |
| 求邊界條件（界面兩側的關係） | 積分 | 用「扁盒子」與「窄矩形」套積分形式，一推就出來 | §1.6 |
| 檢查一組場是否為合法解 | 微分 | 直接把場代進四條微分方程式驗算 | 驗算平面波解 |
| 建立微分方程並解它 | 微分 | 波動方程式、Helmholtz 方程式都是微分形式的產物 | §2.1、§3.3 |
G.3 積分形式的「三大對稱模板」
積分形式最強大的用法就是對稱性求場。實務上只有三種對稱會用到：
① 圓柱對稱（長直導線、同軸線）
取【圓形迴路】，半徑 r，H 沿圓周方向且大小固定：
∮H·dl = H·(2πr) = I_enc ⟹ H = I_enc/(2πr)
→ 例題 4-3 用的就是這個
② 平面對稱（無限大電流面、平行板）
取【矩形迴路】，一邊在場區內、一邊在場為零的區域：
∮H·dl = H·L = J_s·L ⟹ H = J_s
→ 例題 4-2 用的就是這個
③ 球對稱（點電荷、帶電球）
取【球面】：
∮D·dS = D·(4πr²) = Q_enc ⟹ D = Q_enc/(4πr²)
→ 本次作業沒考，但期中期末常出現
🎯 判斷口訣：
「要推公式用微分，要算數字用積分。」
更精準地說：看到題目有明顯的對稱性（無限長、無限大、球形），就直接抓積分形式。
附錄 H：傳輸線家族總覽
本書 §3.2 直接從「等效電路模型」講起，但沒說這些傳輸線實際上長什麼樣。補上這張表，有助於把抽象的 R、L、G、C 跟真實硬體連起來。
| 類型 | 結構 | 典型 Z₀ | 常見用途 | 特點 |
|---|---|---|---|---|
| 同軸電纜 (coaxial cable) | 中心導體 + 外層屏蔽網 | 50 Ω / 75 Ω | 射頻儀器、天線饋線、有線電視 | 場完全封在內部 → 抗干擾最好；50 Ω 是功率與損耗的折衷，75 Ω 是最低損耗 |
| 微帶線 (microstrip) | PCB 表面走線 + 底層接地面 | 30~120 Ω | 手機、WiFi 模組、幾乎所有高頻 PCB | 便宜、好製造；但場有一部分在空氣中 → 準 TEM、會輻射 |
| 帶狀線 (stripline) | 走線夾在兩層接地面之間 | 30~120 Ω | 多層板的內層高速訊號 | 場全在介質中 → 真正的 TEM、不輻射，但難修改 |
| 雙絞線 (twisted pair) | 兩條線互相纏繞 | 100 Ω / 120 Ω | 乙太網路 (Cat5e/6)、電話、USB、差動訊號 | 纏繞讓外界干擾在兩線上相消 → 抗共模干擾 |
| 平行雙線 (two-wire) | 兩條平行裸線 | 300~600 Ω | 老式電視天線、業餘無線電饋線 | 極低損耗但會輻射、怕附近有金屬 |
| 平行板線 (parallel-plate) | 兩片平行金屬板 | 由 d/w 決定 | 理論分析與教學（本次作業 4-2） | 最容易算：Z₀ ≈ η·(d/w)，L′ = μd/w，C′ = εw/d |
| 波導管 (waveguide) | 中空金屬管 | （不用 Z₀ 描述） | 雷達、衛星、高功率微波 | 不是 TEM 波（沒有內導體），有截止頻率；損耗極低 |
H.1 為什麼同軸線標準是 50 Ω？（面試很愛問）
對【空氣填充】的同軸線，改變內外導體半徑比 b/a，兩個「最佳值」不一樣：
• 最低損耗（衰減最小） 在 b/a ≈ 3.6 → Z₀ ≈ 77 Ω
• 最大功率承載（不打火）在 b/a ≈ 1.65 → Z₀ ≈ 30 Ω
兩者無法兼得，取折衷：
幾何平均 √(77 × 30) ≈ 48 Ω，算術平均 (77+30)/2 ≈ 54 Ω
→ 落在中間、又是整數的 50 Ω 就成了業界標準。
而 75 Ω 用在有線電視/視訊：那是【純接收、功率極小】的場合，
完全不需要考慮功率承載，只追求低損耗與天線匹配：
• 低損耗最佳值在 77 Ω 附近，75 Ω 已非常接近
• 75 Ω 也很接近【半波偶極天線的輻射電阻 73 Ω】
→ 電視天線直接接上去就幾乎匹配，不必再做匹配網路
⚠️ 一個容易被誤傳的細節：「最低損耗 = 77 Ω」這個數字只對空氣填充成立。填入介電材料後，最佳的 b/a 比不變（仍是 3.6），但阻抗會被 √ε_r 除掉：Z₀,opt = 77/√ε_r。例如實心聚乙烯（ε_r ≈ 2.25）的最低損耗點約在 51 Ω——這其實也是 50 Ω 之所以好用的另一個原因。
H.2 與本次作業的連結
例題 4-2 → 平行板線的 L′ = μ₀d/w
例題 6-4 → L′ = 2.7×10⁻⁷ H/m、C′ = 1.8×10⁻¹⁰ F/m
⟹ Z₀ = √(L′/C′) = 38.7 Ω，ε_eff ≈ 4.37
⟹ 這是一條【FR-4 板材上的微帶線】的典型數據！
附錄 I：生活類比索引（30 條）
把全書散落各處的比喻集中成一張複習卡。考前掃一遍，物理圖像立刻回來。
標記 ⭐ 的是本篇新增（原正文沒有的角度）。
第四章
| # | 概念 | 生活類比 |
|---|---|---|
| 1 | 靜態 → 動態 | ⭐ 靜電場像靜止的湖面（只需描述水位）；丟一顆石頭進去產生的漣漪就是電磁波（必須描述「怎麼隨時間變」） |
| 2 | 電生磁、磁生電接力 | 兩個人互相推對方前進，一旦開始就停不下來 |
| 3 | 散度 ∇·A | 這一點是水龍頭還是排水孔 |
| 4 | 旋度 ∇×A | 放一個小水車進去會不會轉、轉多快、軸朝哪 |
| 5 | 梯度 ∇f | 站在山坡上，指向最陡上坡的箭頭 |
| 6 | 散度定理 | 大樓總漏水量 = 樓內每個水龍頭漏水量的總和 |
| 7 | 斯托克斯定理 | 沿池塘岸邊走一圈 = 池內所有小漩渦的總和 |
| 8 | ∇·(∇×A) ≡ 0 | 漩渦的力線自己繞回自己，沒有起點終點 → 淨流出為零 |
| 9 | 法拉第定律的負號 | 磁鐵往線圈插會被推回來；往外拔會被吸住。大自然很懶，抗拒改變 |
| 10 | 連續方程式 | ⭐ 水塔：出水比進水多，水位就下降，而且下降量精確等於流出量 |
| 11 | 位移電流 | 板間沒有電荷在跑，但「變化的電場」代班扮演電流的角色 |
| 12 | 電感 L = Φ/I | ⭐ 轉水車：電流像轉動速度，磁通像帶起的水量，L 就是「每轉一圈帶起多少水」 |
| 13 | 互感 / 串音 | PCB 上一條線的電流變化，隔空在旁邊的線上感應出雜訊 |
| 14 | 磁力不作功 | 磁力永遠側推，只改變方向不改變速率（像轉彎不加速） |
第五章
| # | 概念 | 生活類比 |
|---|---|---|
| 15 | 平面波 | 海邊筆直推進的一排排浪（不是丟石頭的同心圓） |
| 16 | 相位速度 | 盯著某一個浪峰，看它往前跑多快 |
| 17 | 傳播方向口訣 | 相位是波峰的身分證號碼；t 變大讓 ωt 變大，kz 必須跟著變大 → z 往正向跑 |
| 18 | 頻率不變、波長變短 | 火車進隧道：每秒經過的車廂數不變，但車廂被壓縮變短 |
| 19 | 頻率不變（另一版） | ⭐ 從柏油路走到沙灘：腳步頻率不變，但步幅變小 → 前進速度變慢 |
| 20 | 本質阻抗 η | 波像一輛車，E 是油門深度、H 是引擎轉速，η 是固定的油門–轉速比（由跑道材質決定） |
| 21 | 複數介電常數 | 把「導電損耗」偽裝成介電常數的虛部，好讓無損公式全部能直接套用 |
| 22 | 集膚效應 | ⭐ 在游泳池拍水：水面波紋明顯，往下幾公分就幾乎沒了 |
| 23 | 集膚效應（成因） | 內部感應出的渦電流把原電流抵消掉（冷次定律） |
| 24 | 極化 | ⭐ 手持繩子一端：上下抖動 = 線性；畫圓 = 圓極化；畫橢圓 = 橢圓極化 |
| 25 | 圓極化的數學 | (cos θ, sin θ) 的軌跡就是單位圓 → 等振幅 + 差 90° |
| 26 | 相位匹配 / 折射 | 一排手牽手的士兵斜著走進泥地：界線上的腳步節奏必須連續，泥地那側走得慢 → 隊伍偏折 |
| 27 | 布魯斯特角 | 甩繩子時順著繩子看過去，看不到擺動 → 偶極子沿自己的軸不輻射 → 該方向零反射 |
第六章
| # | 概念 | 生活類比 |
|---|---|---|
| 28 | 電路學何時失效 | 房間裡喊話（大家同時聽到）vs 山谷裡喊話（有延遲、有回音） |
| 29 | 特性阻抗 Z₀ | 水管的粗細：細管要大壓力、粗管只要小壓力；管子本身不耗能，但粗細改變處會有回波 |
| 30 | 反射係數 | 甩繩子：末端綁死（短路）→ 反射波上下顛倒；末端自由（開路）→ 不顛倒且振幅加倍；接對阻尼器（匹配）→ 完全吸收 |
| 31 | 駐波 | 繩子兩端各一個人同時甩 → 出現永遠不動的節點與擺動最大的腹點 |
| 32 | λ/4 阻抗變換器 | 阻抗照妖鏡 / 反轉鏡：大變小、小變大、開路變短路 |
| 33 | 多段線級聯 | ⭐ 剝洋蔥：從最裡面（負載）一層一層往外剝 |
| 34 | λ/4 鍍膜 | 相機鏡頭的抗反射鍍膜就是光學版的 λ/4 變換器（所以鍍膜鏡頭會泛紫色） |
附錄 J：口訣與記憶法總表
| 口訣 | 內容 | 出處 |
|---|---|---|
| 異號往正 | cos(ωt − kz) → +z；cos(ωt + kz) → −z |
§0.4.6 |
| ⭐ 減號向前 | 同上的另一種說法：看到減號就往前（+）走 | 新增 |
| 相量負指數往正 | e^(−jkz) → +z；e^(+jkz) → −z |
§0.4.6 |
| ⭐ μ 上 ε 下（磁上電下） | η = √(μ/ε)，絕不能倒過來 | 新增 |
| 速度看乘積，阻抗看比值 | v_p、λ、n 用 √(μ_r ε_r)；η 用 √(μ_r/ε_r) | §2.4 |
| 減 j 是右 | (x̂ − jŷ) → RHCP 右旋；(x̂ + jŷ) → LHCP 左旋 | §2.6.3 |
| 右手：E 轉 H，拇指是方向 | H = (1/η)(k̂ × E)；E × H 指向傳播方向 | §2.3.2 |
| 開正短負 | 開路 Γ = +1；短路 Γ = −1 | §3.5.2 |
| 短 tan，開 cot 帶負號 | 短路線 Z_in = +jZ₀tan βl；開路線 Z_in = −jZ₀cot βl | §3.6.2 |
| λ/4 反轉，λ/2 恆等 | Z_in = Z₀²/Z_L（λ/4）；Z_in = Z_L（λ/2） | §3.6.2 |
| 級聯從負載端剝洋蔥 | 多段線一律從負載往輸入端逐段推 | §3.8.3 |
| E↔V、H↔I、μ↔L、ε↔C | 第五章與第六章的公式互相翻譯 | §3.9 |
| λ(m) = 300 / f(MHz) | 自由空間波長口算 | 附錄 A |
| η₀ = μ₀c = 120π | 忘了 η₀ 可以用 μ₀ 和 c 推回來 | §0.2 |
| 要推公式用微分，要算數字用積分 | Maxwell 方程式兩種形式的選擇 | 附錄 G ⭐ |
| 算完先看單位 | √(LC)=s、√(L/C)=Ω、1/√(με)=m/s | §0.5 |
三個「不可能」自檢（算出來就一定錯）
① |Γ| > 1 （被動負載不可能反射比入射還大）
② S < 1 （駐波比恆 ≥ 1）
③ v_p > c （一般介質中不可能超光速）
加碼：
④ 電感/電容的答案裡出現 I 或 V （它們只跟幾何和材料有關）
⑤ sin θ > 1 （代錯數，或該用 tan）
⑥ η 或 Z₀ 算出來單位是西門子 (S) （分子分母倒了）
附錄 K：η / Z₀ / Z_in / Z_L —— 四種「阻抗」的區辨
這四個都叫「阻抗」、單位都是歐姆，是全書最容易混淆的地方。用一張表徹底分清。
| 符號 | 名稱 | 定義 | 由什麼決定 | 會隨位置變嗎 | 可能是複數嗎 |
|---|---|---|---|---|---|
| η | 本質阻抗 (intrinsic impedance) |
單一行進波的 |E| / |H| | 材料：√(μ/ε) | ❌ 不會 | 有損介質中會（良導體中相角 45°） |
| Z₀ | 特性阻抗 (characteristic impedance) |
單一行進波的 V⁺ / I⁺ | 線的幾何 + 材料：√(L/C) | ❌ 不會 | 有損線中會 |
| Z_in | 輸入阻抗 (input impedance) |
某一點上總合成波的 V(z) / I(z) | Z₀、Z_L、βl 三者 | ✅ 會（週期 λ/2） | 常常是（甚至可能是純虛數） |
| Z_L | 負載阻抗 | 負載端的 V_L / I_L | 負載元件本身 | — | 可以是任意複數 |
K.1 四個關鍵區辨
① η 和 Z₀ 是【波的性質】，Z_in 是【電路看進去的性質】。
η、Z₀ 由介質/線本身決定，跟你接什麼負載、線有多長【完全無關】。
Z_in 則同時取決於 Z₀、Z_L 和電氣長度 βl。
② Z₀ ≠ 線上某點的 V/I ！
只有【沒有反射波】時，線上任一點的 V(z)/I(z) 才等於 Z₀。
有反射時 V(z)/I(z) 隨位置變化，那個東西叫 Z_in(z)，不是 Z₀。
③ Z₀ 是實數但【不耗能】。
50 Ω 的無損線，Z₀ 是純實數 50，但這條線一點功率都不消耗。
「實數」只代表 V 與 I 同相，不代表有電阻在發熱。
④ 只有匹配時三者才合而為一。
Z_L = Z₀ ⟹ Z_in = Z₀（任意長度）⟹ 線上處處 V/I = Z₀，無駐波。
K.2 對應關係（平面波 ↔ 傳輸線）
平面波世界 傳輸線世界
───────────────── ─────────────────
η （介質的本質阻抗） ↔ Z₀ （線的特性阻抗）
η₂ （第二介質，相當於負載） ↔ Z_L （負載阻抗）
Γ = (η₂−η₁)/(η₂+η₁) ↔ Γ = (Z_L−Z₀)/(Z_L+Z₀)
多層鍍膜的等效阻抗 ↔ Z_in （輸入阻抗）
💬 一句話：把「垂直入射到介質界面」想成「傳輸線接了一個 Z_L = η₂ 的負載」，兩章的公式就完全通用了。
K.3 本次作業的實例對照
| 題目 | 出現的是哪一種 | 值 |
|---|---|---|
| 5-4 | η（空氣的本質阻抗） | 120π ≈ 377 Ω |
| 5-6 | η（介質的本質阻抗） | 246.8 Ω |
| 6-1~6-3 | Z₀ = 50 Ω，Z_L → ∞，Z_in = 0 | 三者同時出現，注意區分 |
| 6-6、6-8 | Z₀ 的公式 | √(L/C) 與 √[(R+jωL)/(G+jωC)] |
| 6-3、6-5、6-11 | Z_in | Z₀²/Z_L、4Z_L、jZ₀tan βl |
附錄 L：LaTeX 版公式速查表
為什麼要有這一份？
本書主體刻意使用 Unicode 數學符號（∇、ε₀、√、∮），好處是在任何地方都能正確顯示——記事本、終端機、GitHub、手機、列印出來都一樣。但如果你用的是支援數學渲染的編輯器（Typora / Obsidian / VS Code + Markdown+Math 外掛 / HackMD / Jupyter / GitHub 的數學區塊），LaTeX 排版會漂亮很多、也更接近課本與考卷的樣子。
所以這裡把全部核心公式再用 LaTeX 寫一遍。兩份內容完全等價，挑你順眼的用。
注意：若你的檢視器不支援數學渲染，以下會顯示成原始碼（一堆\frac{}{}），那就請直接看附錄 A 的 Unicode 版。
網頁版說明：本站文章頁不渲染 LaTeX，以下全部以「可複製的原始碼區塊」呈現——整段複製到上面列的編輯器即得漂亮排版；想直接閱讀公式請看 Part 4 的附錄 A（Unicode 版）。
L.1 第四章：Maxwell 方程式與時變場
四大方程式（微分形式 / 積分形式）
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$
$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I + \frac{d\Phi_D}{dt}$$
$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{enc}}$$
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0$$
本構關係與勞侖茲力
$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \qquad
\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}, \qquad
\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}, \qquad
\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$$
$$F_m = |q|\,v\,B \sin\theta$$
向量恆等式（推導必備）
$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) \equiv 0, \qquad
\nabla\times(\nabla f) \equiv 0, \qquad
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}$$
連續方程式（例題 4-1 的完整推導鏈）
$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\;\xrightarrow{\;\nabla\cdot\;}\;
\underbrace{\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H})}_{\equiv\,0}
= \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial(\nabla\cdot\mathbf{D})}{\partial t}$$
$$\boxed{\;\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho_v}{\partial t} = 0
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{dQ_{\text{enc}}}{dt}\;}$$
電感（例題 4-2、4-3）
$$L = \frac{\Lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}, \qquad
M_{12} = \frac{\Phi_{12}}{I_1}$$
$$\boxed{\;L'_{\text{平行板}} = \frac{\mu_0 d}{w}\;}
\qquad
C'_{\text{平行板}} = \frac{\varepsilon_0 w}{d}
\qquad\Longrightarrow\qquad
L'C' = \mu_0\varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$$
$$B_{\text{長直導線}}(r) = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}
\;\Longrightarrow\;
\Phi_{12} = \int_d^a \frac{\mu_0 I_1 b}{2\pi r}\,dr
\;\Longrightarrow\;
\boxed{\;M = \frac{\mu_0 b}{2\pi}\ln\frac{a}{d}\;}$$
位移電流與傳導電流（例題 4-5）
$$\mathbf{J}_c = \sigma\mathbf{E}, \qquad
\mathbf{J}_d = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\;\xrightarrow{\text{phasor}}\;
j\omega\varepsilon\mathbf{E}$$
$$\boxed{\;\frac{|J_d|}{|J_c|} = \frac{\omega\varepsilon}{\sigma} = \frac{1}{\tan\delta_c}\;}
\qquad
\tan\delta_c \equiv \frac{\sigma}{\omega\varepsilon}$$
L.2 第五章：平面電磁波
從 Maxwell 到波動方程式
$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
\;\xrightarrow[\nabla\cdot\mathbf{E}=0]{\text{恆等式}}\;
\boxed{\;\nabla^2\mathbf{E} = \mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\;}$$
$$\text{相量形式（Helmholtz）：}\quad
\nabla^2\mathbf{E} + k^2\mathbf{E} = 0,
\qquad k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}$$
參數關係網
$$\omega = 2\pi f, \qquad
T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad
k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad
\lambda = \frac{2\pi}{k}$$
$$\boxed{\;v_p = \frac{\omega}{k} = \lambda f = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}
= \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\;}
\qquad
n \equiv \frac{c}{v_p} = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$$
$$\lambda = \frac{v_p}{f} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}
\qquad\text{（進入介質：}f\text{ 不變，}\lambda\text{ 變短）}$$
行進波與方向
$$E_0\cos(\omega t - kz) \;\longleftrightarrow\; E_0 e^{-jkz} \;\Rightarrow\; +z \text{ 方向}$$
$$E_0\cos(\omega t + kz) \;\longleftrightarrow\; E_0 e^{+jkz} \;\Rightarrow\; -z \text{ 方向}$$
$$\text{等相位面：}\;\omega t - kz = \text{const}
\;\Rightarrow\; \frac{dz}{dt} = \frac{\omega}{k} = v_p > 0$$
E 與 H 的鐵三角
$$\boxed{\;\mathbf{H} = \frac{1}{\eta}\left(\hat{k}\times\mathbf{E}\right)\;}
\qquad
\mathbf{E} = \eta\left(\mathbf{H}\times\hat{k}\right)
\qquad
\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}$$
$$\boxed{\;\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \eta_0\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\;}
\qquad
\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \mu_0 c = 120\pi \approx 377\;\Omega$$
$$S_{\text{avg}} = \frac{1}{2}E_0 H_0 = \frac{E_0^2}{2\eta}$$
有損介質與良導體
$$\varepsilon_c = \varepsilon - j\frac{\sigma}{\omega} = \varepsilon' - j\varepsilon''
\qquad
\tan\delta_c = \frac{\varepsilon''}{\varepsilon'} = \frac{\sigma}{\omega\varepsilon}$$
$$\gamma = j\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c} = \alpha + j\beta
\qquad
\mathbf{E}(z) = \mathbf{E}_0 e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$$
$$\text{良導體 }\left(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\gg 1\right):\quad
\varepsilon_c \approx -j\frac{\sigma}{\omega},
\quad
\sqrt{-j} = e^{-j\pi/4} = \frac{1-j}{\sqrt{2}}$$
$$\gamma \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}
\;\Longrightarrow\;
\alpha = \beta = \sqrt{\pi f\mu\sigma}$$
$$\boxed{\;\delta = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}\;}$$
極化
$$\mathbf{E}(z) = \left(\hat{x}E_{x0}e^{j\phi_x} + \hat{y}E_{y0}e^{j\phi_y}\right)e^{-jkz},
\qquad \Delta\phi = \phi_y - \phi_x$$
$$\begin{cases}
\Delta\phi = 0^\circ \text{ 或 } 180^\circ & \Rightarrow\ \text{線性極化}\\[4pt]
E_{x0} = E_{y0}\ \text{且}\ \Delta\phi = \pm 90^\circ & \Rightarrow\ \text{圓極化}\\[4pt]
\text{其他} & \Rightarrow\ \text{橢圓極化}
\end{cases}$$
$$(\hat{x} - j\hat{y})e^{-jkz} \Rightarrow \text{RHCP（右旋）},
\qquad
(\hat{x} + j\hat{y})e^{-jkz} \Rightarrow \text{LHCP（左旋）}$$
$$\text{例題 5-7：}\quad
(j\hat{x} + \hat{y}) = j(\hat{x} - j\hat{y}) \;\Rightarrow\; \textbf{RHCP}$$
反射與折射
$$\text{相位匹配：}\quad k_1\sin\theta_i = k_1\sin\theta_r = k_2\sin\theta_t$$
$$\boxed{\;\theta_r = \theta_i\;}
\qquad\qquad
\boxed{\;n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t\;}
\qquad\qquad
\theta_c = \sin^{-1}\!\frac{n_2}{n_1}$$
$$\Gamma_\perp = \frac{\eta_2\cos\theta_i - \eta_1\cos\theta_t}{\eta_2\cos\theta_i + \eta_1\cos\theta_t}
\qquad
\Gamma_\parallel = \frac{\eta_2\cos\theta_t - \eta_1\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_t + \eta_1\cos\theta_i}$$
$$\text{垂直入射：}\quad \Gamma = \frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}$$
$$\Gamma_\parallel = 0
\;\Longrightarrow\;
\boxed{\;\tan\theta_B = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} = \frac{n_2}{n_1}\;}
\qquad
\sin\theta_B = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}}
\qquad
\theta_B + \theta_t = 90^\circ$$
L.3 第六章：傳輸線
電報方程式（時域 → 相量）
$$-\frac{\partial v}{\partial z} = Ri + L\frac{\partial i}{\partial t},
\qquad
-\frac{\partial i}{\partial z} = Gv + C\frac{\partial v}{\partial t}$$
$$\boxed{\;-\frac{dV}{dz} = (R + j\omega L)\,I\;}
\qquad\qquad
\boxed{\;-\frac{dI}{dz} = (G + j\omega C)\,V\;}$$
傳播常數與特性阻抗（例題 6-6~6-9）
$$\frac{d^2V}{dz^2} = \underbrace{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}_{\gamma^2}\,V$$
$$\boxed{\;\gamma = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)} = \alpha + j\beta\;}
\qquad
\boxed{\;Z_0 = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\;}$$
$$\text{無損 }(R=G=0):\quad
\alpha = 0,\quad
\boxed{\beta = \omega\sqrt{LC}},\quad
\boxed{Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}},\quad
\boxed{v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$$
$$\text{無失真線條件：}\ \frac{R}{L} = \frac{G}{C}
\;\Longrightarrow\;
\alpha = \sqrt{RG},\quad Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}\ \text{（純實數）}$$
⚠️ 單位長度警告（例題 6-4）
$$\left[\sqrt{L_{\text{total}}C_{\text{total}}}\right] = \text{s}
\qquad\text{但}\qquad
\left[\sqrt{L'C'}\right] = \frac{\text{s}}{\text{m}}$$
$$L' = \frac{L_{\text{total}}}{\ell},\quad
C' = \frac{C_{\text{total}}}{\ell}
\qquad\Longrightarrow\qquad
v_p = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{\ell}{\sqrt{L_{\text{total}}C_{\text{total}}}}$$
反射係數與駐波比
$$\boxed{\;\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}\;}
\qquad
\Gamma(z) = \Gamma_L e^{j2\beta z}$$
$$Z_L = Z_0 \Rightarrow \Gamma_L = 0;
\qquad
Z_L = 0 \Rightarrow \Gamma_L = -1;
\qquad
Z_L \to \infty \Rightarrow \Gamma_L = +1$$
$$\boxed{\;S = \frac{|V|_{\max}}{|V|_{\min}} = \frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}\;}
\qquad
\boxed{\;|\Gamma_L| = \frac{S-1}{S+1}\;}
\qquad
P_{\text{ref}}/P_{\text{inc}} = |\Gamma_L|^2$$
$$|V|_{\max} = |V_0^+|(1+|\Gamma_L|),
\qquad
|V|_{\min} = |V_0^+|(1-|\Gamma_L|),
\qquad
\Delta z_{\max\text{-}\max} = \frac{\lambda}{2}$$
輸入阻抗
$$\boxed{\;Z_{in}(\ell) = Z_0\,\frac{Z_L + jZ_0\tan\beta\ell}{Z_0 + jZ_L\tan\beta\ell}\;}$$
$$\begin{aligned}
Z_L = 0 \ (\text{短路}) &\;\Longrightarrow\; Z_{in} = +jZ_0\tan\beta\ell \\[3pt]
Z_L \to \infty \ (\text{開路}) &\;\Longrightarrow\; Z_{in} = -jZ_0\cot\beta\ell \\[3pt]
\ell = \lambda/4 \ (\beta\ell = \pi/2) &\;\Longrightarrow\; Z_{in} = \frac{Z_0^2}{Z_L} \\[3pt]
\ell = \lambda/2 \ (\beta\ell = \pi) &\;\Longrightarrow\; Z_{in} = Z_L \\[3pt]
Z_L = Z_0 \ (\text{匹配}) &\;\Longrightarrow\; Z_{in} = Z_0 \quad (\forall \ell)
\end{aligned}$$
λ/4 變換器與級聯
$$Z_c = \sqrt{Z_S Z_L}\quad(\text{單段匹配})
\qquad\qquad
Z_{in} = \left(\frac{Z_a}{Z_b}\right)^2 Z_L\quad(\text{兩段 }\lambda/4)$$
$$\text{例題 6-5：}\quad Z_a = 2Z_0,\ Z_b = Z_0 \;\Longrightarrow\; Z_{in} = 4Z_L$$
L.4 統一對照（第五章 ↔ 第六章）
$$\mathbf{E}\leftrightarrow V, \qquad
\mathbf{H}\leftrightarrow I, \qquad
\mu\leftrightarrow L, \qquad
\varepsilon\leftrightarrow C, \qquad
\sigma\leftrightarrow G$$
$$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\;\longleftrightarrow\;Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}
\qquad
k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}\;\longleftrightarrow\;\beta = \omega\sqrt{LC}$$
$$v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\;\longleftrightarrow\;v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\qquad
\Gamma = \frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}\;\longleftrightarrow\;\Gamma = \frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$
附錄 M：LaTeX 版 29 題答案卡
第四章
$$\text{4-1:}\quad \nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho_v}{\partial t}
\qquad\qquad
\text{4-2:}\quad L' = \frac{\mu_0 d}{w}\ \left[\text{H/m}\right]$$
$$\text{4-3:}\quad M = \frac{\mu_0 b}{2\pi}\ln\frac{a}{d}
\qquad
\text{4-4:}\quad \theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ
\qquad
\text{4-5:}\quad \frac{|J_d|}{|J_c|} = \frac{\omega\varepsilon}{\sigma}$$
第五章
$$\text{5-1:}\quad v_p = \frac{9\pi\times10^8}{3\pi} = 3\times10^8\ \text{m/s}
\qquad
\text{5-2:}\quad +z$$
$$\text{5-3:}\quad \lambda = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}\ \text{m}
\qquad
\text{5-4:}\quad \mathbf{H}(0,t) = \hat{y}\,\frac{1}{12\pi}\cos(9\pi\times10^8 t)\ \text{A/m}$$
$$\text{5-5:}\quad \lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{21}} = \frac{10\,\text{cm}}{4.583} = 2.18\ \text{cm}
\qquad
\text{5-6:}\quad \eta = 120\pi\sqrt{\tfrac{3}{7}} \approx 246.8\ \Omega$$
$$\text{5-7:}\quad (j\hat{x}+\hat{y})e^{-jkz} = j(\hat{x}-j\hat{y})e^{-jkz}
\;\Rightarrow\; \text{RHCP（右旋圓極化）}$$
$$\text{5-8:}\quad \delta = \frac{1}{\sqrt{8\pi^2(5.813)\times10^{10}}}
= \frac{1}{2.142\times10^6} = 0.467\ \mu\text{m}$$
$$\text{5-9:}\quad \theta_r = \theta_i = 45^\circ
\qquad
\text{5-10:}\quad \theta_t = \sin^{-1}\!\frac{\sin 45^\circ}{\sqrt{5.5}} = 17.5^\circ$$
$$\text{5-11:}\quad \theta_B = \tan^{-1}\!\sqrt{80} = 83.6^\circ$$
第六章
$$\text{6-1:}\quad \Gamma_L = \lim_{Z_L\to\infty}\frac{1-Z_0/Z_L}{1+Z_0/Z_L} = +1
\qquad
\text{6-2:}\quad S = \frac{1+1}{1-1} \to \infty$$
$$\text{6-3:}\quad Z_{in} = \frac{Z_0^2}{Z_L} = \frac{50^2}{\infty} = 0\ \Omega
\qquad
\text{6-4:}\quad v_p = \frac{1}{\sqrt{(2.7\times10^{-7})(1.8\times10^{-10})}} = 1.43\times10^8\ \text{m/s}$$
$$\text{6-5:}\quad Z_{in} = \frac{(2Z_0)^2}{Z_0^2/Z_L} = 4Z_L
\qquad
\text{6-6:}\quad Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}
\qquad
\text{6-7:}\quad \beta = \omega\sqrt{LC},\ \alpha = 0$$
$$\text{6-8:}\quad Z_0 = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}
\qquad
\text{6-9:}\quad \gamma = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)} = \alpha+j\beta$$
$$\text{6-10:}\quad \Gamma_L = 0 \Longleftrightarrow Z_L = Z_0
\qquad
\text{6-11:}\quad Z_{in} = jZ_0\tan\beta\ell$$
$$\text{6-12:}\quad S = \frac{4}{2} = 2
\qquad\qquad
\text{6-13:}\quad |\Gamma_L| = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$$
附錄 N：Unicode ↔ LaTeX 符號對照（自己打字時用）
| 意義 | 本書 Unicode 寫法 | LaTeX 寫法 |
|---|---|---|
| 向量算子 | ∇ | \nabla |
| 偏微分 | ∂E/∂t | \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} |
| 向量（粗體） | E | \mathbf{E} |
| 單位向量 | x̂、ê_x | \hat{x}、\hat{e}_x |
| 叉積 / 點積 | × / · | \times / \cdot |
| 封閉線積分 / 面積分 | ∮ | \oint_C / \oint_S |
| 介電係數 | ε、ε₀、ε_r | \varepsilon、\varepsilon_0、\varepsilon_r |
| 磁導係數 | μ、μ₀、μ_r | \mu、\mu_0、\mu_r |
| 本質阻抗 | η、η₀ | \eta、\eta_0 |
| 反射係數 | Γ | \Gamma |
| 傳播常數 / 衰減 / 相位 | γ、α、β | \gamma、\alpha、\beta |
| 導電率 | σ | \sigma |
| 波長 / 角頻率 | λ、ω | \lambda、\omega |
| 集膚深度 | δ | \delta |
| 磁通 / 磁通鏈 | Φ、Λ | \Phi、\Lambda |
| 根號 / 分數 | √(μ/ε) | \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} |
| 絕對值 | |Γ| | \lvert\Gamma\rvert（最安全；直接打豎線也可，但在表格內需跳脫）⚠️ 別用 \Vert，那是「範數」符號 ‖·‖ 不是絕對值 |
| 度數 | 45° | 45^\circ |
| 垂直 / 平行極化 | ⊥ / ∥ | \perp / \parallel |
| 趨近 / 恆等 | → / ≡ | \to / \equiv |
| 遠大於 / 遠小於 | ≫ / ≪ | \gg / \ll |
| 方框強調答案 | ╔═╗ 框 | \boxed{...} |
📎 增補篇小結
本篇補進來的，是「原本沒有但有價值」的五類東西：
① 導覽性 — 錨點目錄（附錄 F）
② 方法論 — 微分/積分形式的選擇時機（附錄 G）
③ 硬體連結 — 傳輸線家族、50 Ω 的由來（附錄 H）
④ 記憶與辨析 — 類比索引、口訣總表、四種阻抗區辨（附錄 I~K）
⑤ 排版備援 — LaTeX 版公式與答案卡（附錄 L~N）
原書 Part 0~4 一字未動；兩份內容互為備援：
看不到數學渲染 → 用 Unicode 版（附錄 A）
看得到數學渲染 → 用 LaTeX 版（附錄 L）