電磁學(II)完全攻略講義 Part 2｜第五章：平面電磁波
📚 《電磁學(II) 完全攻略講義》系列：本文是第 3 篇（共 6 篇）
Part 0｜工具箱 ・ Part 1｜第四章 ・ Part 2｜第五章（本篇） ・ Part 3｜第六章 ・ Part 4｜附錄 ・ Part 5｜增補篇
文中 §0.x～§3.x 編號依序位於 Part 0～3；附錄 A～E 在 Part 4、附錄 F～N 在 Part 5。
本章對應題目：5-1
5-4（波形判讀 + 磁場）、5-55-6（介質參數）、5-7（極化）、5-8（集膚深度）、5-9~5-11（反射/折射/布魯斯特角）
§2.1 從 Maxwell 到波動方程式：電磁波是怎麼「跑出來」的
2.1.1 設定：最乾淨的環境
我們先考慮最理想的情況——「無源、無損、均勻、線性、等向」的介質：
ρ_v = 0（沒有自由電荷）
J = 0（沒有傳導電流，σ = 0）
ε、μ 為常數（不隨位置、方向、場強改變）
在這種環境下，四條 Maxwell 方程式簡化為：
(1) ∇ × E = − μ ∂H/∂t
(2) ∇ × H = ε ∂E/∂t
(3) ∇ · E = 0
(4) ∇ · H = 0
💬 【白話版】 注意 (1) 和 (2) 的美妙結構：E 的旋度由 H 的變化決定，H 的旋度由 E 的變化決定。它們互相咬住對方的尾巴——這就是「接力」的數學形式。我們現在要做的，就是把其中一個消掉，看看剩下的那個要滿足什麼方程式。
2.1.2 完整推導
【Step 1】對 (1) 式兩邊取旋度：
∇ × (∇ × E) = ∇ × (−μ ∂H/∂t)
= −μ ∂(∇ × H)/∂t （μ 為常數，∇× 與 ∂/∂t 可交換）
【Step 2】把 (2) 式代進去（這就是「電生磁、磁生電」的接力被寫成數學）：
∇ × (∇ × E) = −μ ∂(ε ∂E/∂t)/∂t = − μ ε ∂²E/∂t²
【Step 3】左邊用向量恆等式 C（§0.3.6）展開：
∇ × (∇ × E) = ∇(∇·E) − ∇²E
【Step 4】代入 (3) 式 ∇·E = 0：
∇(0) − ∇²E = − μ ε ∂²E/∂t²
− ∇²E = − μ ε ∂²E/∂t²
╔════════════════════════════════════════════╗
║ ∇²E = μ ε (∂²E/∂t²) ║ ← 【波動方程式】
╚════════════════════════════════════════════╝
（同理，對 (2) 式操作可得 H 的波動方程式：∇²H = με ∂²H/∂t²）
2.1.3 為什麼這叫「波動方程式」？
物理中的標準一維波動方程式長這樣：
∂²u/∂z² = (1/v²) · ∂²u/∂t² （v = 波的傳播速度）
把我們的結果對照：
∇²E = με ∂²E/∂t² ⟺ 1/v² = με ⟺ v = 1/√(με)
🎯 【歷史上最震撼的一次代入】
v = 1/√(μ₀ε₀) = 1/√( (4π×10⁻⁷)(8.854×10⁻¹²) ) = 2.998 × 10⁸ m/s
這正是光速！ Maxwell 在 1865 年算出這個數字時寫道：
「我們幾乎無法避免這樣的結論：光就是電磁波。」
這是理論物理史上最偉大的統一之一——把「光學」整個併入了「電磁學」。
2.1.4 相量形式（Helmholtz 方程式）
用相量（∂/∂t → jω，∂²/∂t² → −ω²）：
∇²E = με(−ω²)E
∇²E + ω²με E = 0
定義 k ≡ ω√(με) （波數 wave number）
╔══════════════════════╗
║ ∇²E + k² E = 0 ║ ← 【Helmholtz 方程式】
╚══════════════════════╝
k = ω√(με) 這個式子是第五章的核心，一定要背。
§2.2 均勻平面波的解剖學
2.2.1 什麼叫「均勻平面波」？
💬 【白話版】
- 平面波：等相位面（波前）是平面。想像海邊筆直推進的一排排浪，而不是石頭丟進水裡的同心圓。
- 均勻：在同一個波前平面上，E 的大小和方向處處相同。
🎯 重要性質：任何波在離波源夠遠的地方，都可以近似成均勻平面波（因為球面在局部看起來就是平面，就像地球是圓的但你家院子是平的）。所以平面波不只是數學玩具，而是實際上最有用的近似。
2.2.2 一維解與參數字典
沿 z 方向傳播、E 沿 x 方向的均勻平面波：
時域： E(z,t) = x̂ · E₀ cos(ωt − kz + φ₀)
相量： E(z) = x̂ · E₀ e^(−jkz) （取 φ₀ = 0）
🎯 【參數對照表 — 背下這張表，5-1 到 5-3 就是送分題】
| 時間面向 | 空間面向 | 關係 |
|---|---|---|
| ω（角頻率，rad/s） | k（波數，rad/m） | ω = 2πf，k = 2π/λ |
| f（頻率，Hz） | 1/λ（空間頻率，1/m） | |
| T = 2π/ω（週期，s） | λ = 2π/k（波長，m） | 完美對稱！ |
| 「一秒鐘振動幾次」 | 「一公尺裡塞得下幾個波」 |
連結時間與空間的橋樑：
╔═══════════════════════════════════════════╗
║ v_p = ω/k = λ f = λ/T = 1/√(με) ║
╚═══════════════════════════════════════════╝
💬 【白話版：ω 與 k 是雙胞胎】
- ω 管時間：站在原地不動，看場「上下振動」得多快。
- k 管空間：把時間凍結拍一張快照，看波「在空間中擠」得多密。
- v_p 是它們的比值：波形移動的速度。就像「每秒轉幾圈 ÷ 每公尺幾圈 = 每秒幾公尺」。
2.2.3 🎯 波形判讀 SOP（5-1、5-2、5-3 一次搞定）
拿到任何一個 E = A cos(Bt − Cz) 形式的波，照這個表對號入座：
╔═══════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ E = ê_x · 10 cos(9π×10⁸ t − 3π z) ║
║ ↑ ↑ ↑ ║
║ 振幅 E₀ ω k ║
║ ║
║ ① 振幅 E₀ = 10 V/m ║
║ ② 極化方向 x̂（E 振動的方向） ║
║ ③ 角頻率 ω = 9π×10⁸ rad/s → f = ω/2π = 4.5×10⁸ Hz ║
║ ④ 波數 k = 3π rad/m → λ = 2π/k = 2/3 m ║
║ ⑤ 傳播方向 中間是「−」→ 往 +z ║
║ ⑥ 相位速度 v_p = ω/k = 3×10⁸ m/s ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════╝
⚠️ 超級注意：ω 是 t 前面的整個係數，k 是 z 前面的整個係數。不要看到 9π×10⁸ 就以為 f = 9×10⁸；ω 和 f 差了 2π！
§2.3 E 與 H 的鐵三角關係
這是【例題 5-4】的完整理論。
2.3.1 從 Maxwell 直接算出 H
🔍 【為什麼】完整推導（不是背公式，是算出來的）
給定：E = x̂ E₀ e^(−jkz)（沿 +z 傳播，E 沿 x̂）
用相量法拉第定律：∇ × E = − jωμ H
先算左邊的旋度（E 只有 x 分量，且只跟 z 有關）：
| x̂ ŷ ẑ |
∇ × E = | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |
| E_x 0 0 |
= x̂ (∂0/∂y − ∂0/∂z) + ŷ (∂E_x/∂z − ∂0/∂x) + ẑ (∂0/∂x − ∂E_x/∂y)
= ŷ · ∂E_x/∂z （其餘項皆為 0）
= ŷ · ∂[E₀ e^(−jkz)]/∂z
= ŷ · (−jk) E₀ e^(−jkz)
代回法拉第定律：
ŷ (−jk) E₀ e^(−jkz) = − jωμ H
(−jk) E₀ e^(−jkz) k
H = ŷ · ───────────────────── = ŷ · ───── E₀ e^(−jkz)
(−jωμ) ωμ
而 k = ω√(με)，所以：
k ω√(με) √(με) 1 1
───── = ──────── = ────── = ───────── = ─────────
ωμ ωμ μ √(μ/ε) η
╔═════════════════════════════════════════════╗
║ H = ŷ · (E₀/η) e^(−jkz) ║
║ ║
║ 其中 η ≡ √(μ/ε) 【本質阻抗】 ║
╚═════════════════════════════════════════════╝
注意 ẑ × x̂ = ŷ，所以這個結果可以寫成通用形式。
2.3.2 🎯 三條鐵律（必背）
╔═══════════════════════════════════════════════════════════╗
║ 鐵律 1：E ⊥ H ⊥ k̂ （三者兩兩互相垂直）→ 這就是 TEM 波 ║
║ ║
║ 鐵律 2：E × H 指向傳播方向 k̂ ║
║ （E × H = 波印廷向量 S，代表能量流動方向） ║
║ ║
║ 鐵律 3：|E| / |H| = η （本質阻抗，單位 Ω） ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════╝
通用公式：
H = (1/η) · ( k̂ × E ) ← 由 E 求 H（最常用）
E = η · ( H × k̂ ) = − η ( k̂ × H ) ← 由 H 求 E
💬 【白話記憶法 — 右手定則】
攤開右手，四指從 E 的方向「轉向」H 的方向，拇指指的就是波前進的方向。
或者：E → H → k̂ 構成一個右手座標系（就像 x̂ → ŷ → ẑ 一樣）。
2.3.3 本質阻抗 η
η = √(μ/ε) = √(μ₀μ_r / ε₀ε_r) = η₀ · √(μ_r/ε_r)
η₀ = √(μ₀/ε₀) = 376.73 Ω ≈ 120π Ω ≈ 377 Ω ← 必背
💬 【白話版：η 是什麼？】
它是「電場與磁場的兌換率」，單位是歐姆。但它不是電阻，不會消耗能量。
比喻：想像波是一輛在跑的車，E 是「油門深度」，H 是「引擎轉速」。η 就是這輛車固定的「油門–轉速比」。這個比例由跑道的材質（μ 和 ε）決定，跟車開多快、開多久都無關。
⚠️ 最常見的錯誤：把 η 寫成 √(ε/μ)。 用單位檢查：√(μ/ε) = √((H/m)/(F/m)) = √(H/F) = Ω ✓；反過來寫單位會變成西門子。
§2.4 波在無損介質中：三個公式
當波從真空/空氣進入一個 μ_r、ε_r 的無損介質：
╔══════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ ① 相位速度 v_p = 1/√(με) = c / √(μ_r ε_r) ║
║ ║
║ ② 折射率 n ≡ c/v_p = √(μ_r ε_r) ║
║ ║
║ ③ 波長 λ = v_p / f = λ₀ / √(μ_r ε_r) = λ₀ / n ║
║ ║
║ ④ 本質阻抗 η = η₀ √(μ_r/ε_r) ║
║ ║
║ ⑤ 波數 k = ω√(με) = k₀ √(μ_r ε_r) = (2π/λ₀)·n ║
╚══════════════════════════════════════════════════════════════╝
🎯 最重要的觀念：頻率不變，波長改變！
當波從一個介質進入另一個介質：
| 量 | 會不會變？ | 為什麼 |
|---|---|---|
| f（頻率） | 不變 ⭐ | 頻率由波源決定。界面兩邊的場必須「同步振動」，不然邊界條件在時間上會對不上 |
| v_p（速度） | 變小（進入 n>1 的介質） | v_p = c/n |
| λ（波長） | 變短 | λ = v_p/f，f 不變、v_p 變小 → λ 變小 |
| η（本質阻抗） | 變 | η = η₀√(μ_r/ε_r) |
💬 【白話版：火車進隧道】
想像一列火車（波）從空曠地帶開進隧道（介質），隧道裡速度限制較低。
- 每秒鐘經過你眼前的車廂數（頻率）不會變 —— 因為前後車廂不能斷開，進去多少節就出來多少節。
- 但因為速度變慢了，車廂之間會「擠在一起」，車廂間距（波長）變短。
⚠️ 超常見錯誤：算介質中的波長時，用 λ = c/f。錯！ 必須用 λ = v_p/f，其中 v_p 是介質中的速度。
注意 μ_r 與 ε_r 的分工（很多人搞混）
速度、波長、折射率 → 看「乘積」 μ_r × ε_r （√(μ_r ε_r)）
本質阻抗 → 看「比值」 μ_r / ε_r （√(μ_r/ε_r)）
💬 記憶法：「速度看乘積，阻抗看比值」。
這也解釋了一件有趣的事：如果一個材料 μ_r = ε_r，它的 η 會等於 η₀（跟真空一樣，所以不會反射），但速度卻比光速慢很多。這就是雷達吸波材料的設計原理！
§2.5 波在有損介質與導體中：集膚深度
這是【例題 5-8】的完整理論。
2.5.1 複數介電常數
當介質有導電性（σ ≠ 0），安培–馬克斯威爾定律變成：
∇ × H = J + jωεE = σE + jωεE
= jω ( ε − j σ/ω ) E
≡ jω ε_c E
其中定義複數介電常數：
ε_c = ε − j (σ/ω) = ε' − j ε''
💬 【白話版】 這是一個超漂亮的數學技巧：把「導電損耗」偽裝成「介電常數的虛部」。這樣一來，所有無損介質推出來的公式（v_p、η、k）都可以直接套用，只要把 ε 換成複數的 ε_c 就好，不用重新推導。這就是工程數學的威力。
2.5.2 損耗正切
ε'' σ
tan δ_c = ───── = ──────
ε' ω ε
（這就是【例題 4-5】那個比值的倒數！ 第四章和第五章在這裡會合。）
| 判準 | 材料類型 |
|---|---|
| σ/(ωε) ≪ 1 | 良介質（低損耗） |
| σ/(ωε) ≫ 1 | 良導體 |
2.5.3 傳播常數與衰減
γ = jk_c = jω√(μ ε_c) ≡ α + jβ
相量：E(z) = E₀ e^(−γz) = E₀ · e^(−αz) · e^(−jβz)
───── ──────
振幅衰減 相位變化
- α（衰減常數，Np/m）：波每前進 1 公尺，振幅乘以 e^(−α)
- β（相位常數，rad/m）：波每前進 1 公尺，相位轉 β 弧度
2.5.4 🔍 良導體近似與集膚深度（完整推導）
【前提】良導體：σ/(ωε) ≫ 1
【Step 1】ε_c = ε − jσ/ω ≈ − j σ/ω （虛部遠大於實部，實部可忽略）
【Step 2】代入 γ：
γ = jω √(μ ε_c) ≈ jω √( μ · (−jσ/ω) )
= jω √( −j · μσ/ω )
= jω · √(−j) · √(μσ/ω)
【Step 3】處理 √(−j)（這是關鍵的一步）
−j = e^(−jπ/2) （−j 是「順時針轉 90 度」）
√(−j) = e^(−jπ/4) = cos45° − j sin45° = (1 − j)/√2
【Step 4】組合起來：
γ = jω · (1−j)/√2 · √(μσ/ω)
= [ j(1−j)/√2 ] · ω · √(μσ/ω)
注意 j(1−j) = j − j² = j + 1 = (1+j)
= (1+j)/√2 · √(ω² · μσ/ω)
= (1+j)/√2 · √(ω μ σ)
= (1+j) · √(ω μ σ / 2)
【Step 5】比對 γ = α + jβ：
╔══════════════════════════════════════════════════════╗
║ α = β = √(ω μ σ / 2) = √(π f μ σ) ║
╚══════════════════════════════════════════════════════╝
（因為 ω = 2πf，所以 ωμσ/2 = 2πfμσ/2 = πfμσ）
【Step 6】集膚深度定義：振幅衰減到 1/e ≈ 36.8% 的深度
e^(−α δ) = e^(−1) ⟹ α δ = 1 ⟹ δ = 1/α
╔════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ δ = 1/α = 1/√(π f μ σ) = √( 2/(ω μ σ) ) ║
╚════════════════════════════════════════════════════════════╝
2.5.5 集膚效應的物理意義與工程應用
💬 【白話版：為什麼電流會躲到表面？】
高頻電流進入導體時，它的變化磁場會在導體內部感應出渦電流，這些渦電流的方向恰好抵消內部的原電流（冷次定律，§1.2 的負號）。結果就是：導體越深處，電流被抵消得越乾淨，最後只剩表面薄薄一層在導電。
🎯 【工程含意 — 這些都是考申論題的好料】
| 現象 | 原因 |
|---|---|
| 高頻電纜用鍍銀（不用全銀） | 反正電流只走表面 δ 厚，內部用銅就夠了，省錢 |
| 高頻功率傳輸用中空管導體 | 中間的銅本來就沒電流，挖掉不影響，還能減重 |
| 高頻時導體電阻大幅上升 | 有效導電截面積從 πa² 縮成約 2πaδ |
| 微波爐的金屬網能擋微波但看得到光 | 微波在金屬中 δ 極小、且波長遠大於網孔 → 反射；可見光波長小可穿過網孔 |
| 電磁屏蔽罩的厚度設計 | 通常設計成 3~5 個 δ（衰減到 e^(−5) ≈ 0.7%） |
| 手機在電梯裡沒訊號 | 金屬箱體 = 法拉第籠，電磁波被反射與快速衰減 |
⚠️ 公式陷阱：δ = 1/√(π f μσ) 裡是 f（頻率）不是 ω（角頻率）。若記 ω 的版本要記成 δ = √(2/(ωμσ))。兩者等價，別混用。
趨勢記憶：δ 與 √f、√σ、√μ 都成反比。所以頻率越高、導電性越好、磁性越強 → 集膚深度越淺。
§2.6 極化 (Polarization)
這是【例題 5-7】的完整理論。
2.6.1 定義
🎯 【嚴格版】 極化描述：在空間中一個固定的點上，電場向量 E 的尖端隨時間畫出的軌跡形狀。
💬 【白話版】 想像波打到你的臉上，你盯著鼻尖那一點的電場箭頭看。這個箭頭會怎麼動？
- 只在一條直線上來回擺 → 線性極化
- 尖端畫出一個圓 → 圓極化
- 尖端畫出橢圓 → 橢圓極化
2.6.2 一般形式與判定表
一個沿 +z 傳播的波，最一般可寫成兩個垂直分量的合成：
E(z) = ( x̂ E_x0 e^(jφx) + ŷ E_y0 e^(jφy) ) e^(−jkz)
定義相位差：Δφ = φy − φx
🎯 【判定表 — 兩個問題就搞定】
問題 1：兩個分量的「振幅」相不相等？
問題 2：兩個分量的「相位差」是多少？
┌────────────────────────┬────────────────────┐
│ Δφ = 0° 或 180° │ 線性極化 │
├────────────────────────┼────────────────────┤
│ E_x0 = E_y0 且 │ 圓極化 ⭐ │
│ Δφ = ±90° │ │
├────────────────────────┼────────────────────┤
│ 其他所有情況 │ 橢圓極化 │
└────────────────────────┴────────────────────┘
💬 【為什麼相位差 90° 加等振幅就是圓？】
回想高中數學：(cos θ, sin θ) 的軌跡就是單位圓。而 cos 和 sin 恰好就是「等振幅、差 90°」。
反之，(cos θ, cos θ) 是一條 45° 直線（同相 → 線性）；(cos θ, 2 sin θ) 是橢圓（差 90° 但振幅不等）。
2.6.3 🎯 旋向判定 SOP（保證不錯的 3 步驟）
判斷圓極化是「右旋 RHCP」還是「左旋 LHCP」，這是最容易錯的地方。照這個 SOP 走，一定對：
╔═══════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ 【Step 1】寫出時域的 E_x(t) 與 E_y(t)（取 z = 0 最方便） ║
║ ║
║ 規則：把相量係數乘上 e^(jωt) 再取實部 ║
║ Re{ 1 · e^(jωt) } = cos(ωt) ║
║ Re{ j · e^(jωt) } = −sin(ωt) ║
║ Re{ −j · e^(jωt) } = +sin(ωt) ║
║ ║
║ 【Step 2】代 ωt = 0 和 ωt = 90°，畫出兩個箭頭 ║
║ 看清楚 E 是「從哪轉到哪」 ║
║ ║
║ 【Step 3】右手拇指指向【傳播方向】，看四指的捲曲方向 ║
║ 與 Step 2 的旋轉方向【一致】→ 右旋 (RHCP) ║
║ 與 Step 2 的旋轉方向【相反】→ 左旋 (LHCP) ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════╝
快速記憶（IEEE / 電機工程慣例，波沿 +z 傳播）
( x̂ − j ŷ ) e^(−jkz) → 右旋 RHCP 口訣：「減 j 是右」
( x̂ + j ŷ ) e^(−jkz) → 左旋 LHCP
⚠️ 【慣例警告 — 一定要知道】
圓極化的「左右」有兩套完全相反的慣例：
| 慣例 | 觀察方式 | 使用領域 |
|---|---|---|
| IEEE / 工程慣例 | 從波源看向波前進的方向（波離你而去） | 天線、微波、通訊（Cheng 課本、本課程採用） |
| 光學慣例 | 面向來波觀察（波朝你而來） | 光學、物理 |
同一個波，兩套慣例會給出完全相反的名字。 考試請依課本（IEEE）。若不確定，寫出完整的旋轉分析過程，即使名稱標反了也能拿到大部分分數。
2.6.4 極化的應用
| 應用 | 說明 |
|---|---|
| GPS、衛星電視 | 用圓極化。因為衛星姿態會轉動，若用線性極化，一旦角度轉 90° 訊號就歸零；圓極化則不受影響 |
| 3D 電影眼鏡 | 左右眼用相反旋向的圓極化片，各自只看到一個影像 |
| 偏光太陽眼鏡 | 濾掉水平線性極化的反射眩光（見 §2.9 布魯斯特角） |
| 雷達極化辨識 | 不同形狀的目標對不同極化的反射不同，可用來辨識目標 |
| 液晶顯示器 (LCD) | 靠電壓控制液晶旋轉偏振方向，配合偏光片決定亮暗 |
§2.7 波遇到界面：反射與折射
這是【例題 5-9】和【例題 5-10】的理論基礎。
2.7.1 🎯 唯一的根源：相位匹配 (Phase Matching)
所有的角度定律（反射定律、Snell 定律）都來自同一個原理，不需要分開記。
🔍 【為什麼】
在兩個介質的界面上，邊界條件（如 E 的切線分量連續，§1.6）必須：
在界面上的「每一點」、「每一個時刻」都成立。
如果入射波、反射波、透射波在界面上「沿著界面方向」的相位變化速率不一樣，那它們就無法在所有位置上都保持固定的關係——邊界條件只能在某些孤立的點上成立，這在物理上不可能。
所以三個波沿界面方向的波數分量必須相等：
k₁ sin θ_i = k₁ sin θ_r = k₂ sin θ_t
────────── ────────── ──────────
入射波 反射波 透射波
💬 【白話版：一排士兵斜著走進泥地】
想像一排手牽手的士兵，斜斜地走向「草地→泥地」的界線。手牽著手，所以在界線上「腳步落地的節奏」必須連續——不可能左邊的人已經踏第 3 步、右邊的人還在第 1 步，否則隊伍就撕裂了。這個「沿著界線的節奏必須一致」就是相位匹配。
而進入泥地的人走得慢（速度小），為了保持隊伍不散，隊伍的行進方向必須偏折——這就是折射！
2.7.2 從相位匹配推出兩大定律
① 反射定律（第一個等號）
k₁ sin θ_i = k₁ sin θ_r
兩邊 k₁ 相同（反射波仍在介質 1），約掉：
sin θ_i = sin θ_r
╔══════════════════════════╗
║ θ_r = θ_i ║ ← 【反射定律】
╚══════════════════════════╝
🎯 【極重要的洞見 — 5-9 題送分的原因】
反射定律與「材料的介電常數」、「波的極化方式」、「頻率」通通無關！
它純粹是幾何/運動學的結果（因為反射波與入射波在同一個介質裡，k 相同）。所以不論題目給你什麼 ε_r、不論是平行極化還是垂直極化，答案永遠是 θ_r = θ_i。
② 司乃耳折射定律（第二個等號）
k₁ sin θ_i = k₂ sin θ_t
代入 k = ω√(με) = (ω/c)·√(μ_r ε_r) = (ω/c)·n
（★ 關鍵：兩邊的 ω 相同！因為頻率不變，見 §2.4）
(ω/c) n₁ sin θ_i = (ω/c) n₂ sin θ_t
約掉 ω/c：
╔═══════════════════════════════════╗
║ n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_t ║ ← 【Snell 折射定律】
║ ║
║ 其中 n = √(μ_r ε_r) ║
╚═══════════════════════════════════╝
⚠️ 注意：折射率的完整定義是 n = √(μ_r ε_r)，不是只有 √(ε_r)。只是絕大多數非磁性材料 μ_r = 1，所以才簡化成 n = √(ε_r)。考試時若題目給了 μ_r ≠ 1，一定要記得帶進去。
2.7.3 折射方向的直覺
n₂ > n₁（進入光密介質，如空氣→玻璃）：
sin θ_t = (n₁/n₂) sin θ_i < sin θ_i → θ_t < θ_i → 【折向法線】
n₂ < n₁（進入光疏介質，如玻璃→空氣）：
θ_t > θ_i → 【折離法線】
且當 θ_i 大到某個角度時 sin θ_t 會 > 1 → 無解 → 【全反射】
全反射臨界角：
θ_c = sin⁻¹(n₂/n₁) （只在 n₁ > n₂ 時存在）
💬 這就是光纖通訊的原理：光在纖芯裡不斷全反射，能量幾乎不外漏，所以能傳幾十公里。
§2.8 兩種極化與 Fresnel 反射係數
2.8.1 入射面與兩種極化
首先定義入射面 (plane of incidence)：包含入射線與界面法線的那個平面。
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 垂直極化 (Perpendicular, ⊥, TE, s-polarization) │
│ E 【垂直於】入射面（E 平行於界面，「躺在」界面上） │
│ │
│ 平行極化 (Parallel, ∥, TM, p-polarization) │
│ E 【平行於】入射面（E 在入射面「之內」） │
└──────────────────────────────────────────────────────────┘
💬 【記憶法】 名字裡的「垂直/平行」都是在講 E 與「入射面」的關係，不是與界面的關係。很多人搞錯這一點。
2.8.2 Fresnel 反射係數（Cheng 課本形式）
η₂ cos θ_i − η₁ cos θ_t
Γ_⊥ = ─────────────────────────── （垂直極化）
η₂ cos θ_i + η₁ cos θ_t
η₂ cos θ_t − η₁ cos θ_i
Γ_∥ = ─────────────────────────── （平行極化）
η₂ cos θ_t + η₁ cos θ_i
⚠️ 兩式的差別只在 cos 的下標交換（⊥ 是 cos θ_i 配 η₂；∥ 是 cos θ_t 配 η₂）。這是最容易記混的地方。
垂直入射（θ_i = 0）的特例（兩式會合而為一）：
Γ = (η₂ − η₁)/(η₂ + η₁)
🎯 這個式子與傳輸線的 Γ_L = (Z_L − Z₀)/(Z_L + Z₀) 長得一模一樣！ 這就是 §3.9 統一觀的預告：η 之於平面波 = Z₀ 之於傳輸線。
§2.9 布魯斯特角 (Brewster Angle)
這是【例題 5-11】的完整理論。
2.9.1 定義
布魯斯特角 θ_B = 使反射係數為零的入射角。此時該極化的波完全不被反射，100% 透射進去。
2.9.2 🔍 完整推導（平行極化，非磁性介質 μ₁ = μ₂ = μ₀）
【Step 1】令 Γ_∥ = 0
η₂ cos θ_t − η₁ cos θ_i = 0
⟹ η₂ cos θ_t = η₁ cos θ_i
⟹ cos θ_t / cos θ_i = η₁ / η₂
【Step 2】處理 η₁/η₂（非磁性介質）
η = √(μ₀/ε)，所以
η₁/η₂ = √(μ₀/ε₁) / √(μ₀/ε₂) = √(ε₂/ε₁) ≡ n （記 n 為相對折射率）
【Step 3】所以條件是：
cos θ_t = n · cos θ_i ......(A)
【Step 4】而 Snell 定律給出：
sin θ_i = n · sin θ_t ⟹ sin θ_t = sin θ_i / n ......(B)
【Step 5】把 (A)、(B) 代入 sin²θ_t + cos²θ_t = 1：
(sin²θ_i)/n² + n² cos²θ_i = 1
(sin²θ_i)/n² + n²(1 − sin²θ_i) = 1
乘上 n²：
sin²θ_i + n⁴ − n⁴ sin²θ_i = n²
sin²θ_i (1 − n⁴) = n² − n⁴ = n²(1 − n²)
sin²θ_i · (1 − n²)(1 + n²) = n²(1 − n²)
約掉 (1 − n²)（假設 n ≠ 1）：
sin²θ_i (1 + n²) = n²
n²
sin²θ_B = ───────────
1 + n²
【Step 6】換成 tan（把 cos²θ_B = 1/(1+n²) 算出來再相除）：
tan²θ_B = sin²θ_B/cos²θ_B = n²
╔══════════════════════════════════════════════════════════╗
║ tan θ_B = n = √(ε₂/ε₁) ← 【布魯斯特角】 ║
║ ║
║ 等價形式： sin θ_B = √( ε₂ / (ε₁ + ε₂) ) ║
╚══════════════════════════════════════════════════════════╝
2.9.3 🎯 最美的物理解釋（附帶一個超好用的幾何性質）
幾何性質：在布魯斯特角時，θ_B + θ_t = 90°（入射線與折射線互相垂直）。
🔍 【證明】
若 θ_t = 90° − θ_B，則 sin θ_t = sin(90° − θ_B) = cos θ_B
代入 Snell：sin θ_B = n sin θ_t = n cos θ_B
⟹ tan θ_B = n ✓ 與布魯斯特條件完全一致 ∎
💬 【白話版：為什麼會不反射？——偶極子不會沿自己的軸輻射】
這是全電磁學裡我最喜歡的一個解釋，四步驟：
① 波打進介質 2，把裡面的電子搖動起來。
電子振盪的方向 = 透射波的 E 方向。
每一個振盪的電子 = 一根微小的「偶極天線」。
② 反射波其實不是「彈回來」的，
而是這些小偶極天線【重新輻射】出來的。
③ 【關鍵物理】偶極天線【沿著自己的軸方向不輻射】！
（就像你上下甩一條繩子，站在繩子的正上方或正下方看得到擺動，
但如果你「順著繩子看過去」，就看不到任何橫向擺動。）
④ 平行極化時，透射波的 E 在入射面內、垂直於透射線。
當 θ_B + θ_t = 90° 時，反射線的方向恰好【與偶極子的振盪方向平行】
→ 那個方向零輻射 → 【零反射】！ ✓
為什麼垂直極化沒有布魯斯特角？ 因為垂直極化時，偶極子的振盪方向永遠垂直於入射面，而反射線也永遠在入射面內——兩者永遠不可能平行，所以永遠有反射。（在非磁性介質中。若 μ₁ ≠ μ₂ 則垂直極化也可能有布魯斯特角。）
2.9.4 應用
| 應用 | 原理 |
|---|---|
| 偏光太陽眼鏡 | 水面/路面/車窗的反射眩光，因入射角常接近 θ_B，反射光幾乎只剩垂直極化（在水平面上振動）。眼鏡的偏光片濾掉水平振動方向 → 眩光消失，但一般景物只減弱一半 |
| 攝影偏光鏡 (CPL) | 同上，可消除玻璃/水面反光，讓天空更藍 |
| 雷射管的布魯斯特窗 | 窗片以 θ_B 傾斜安裝，讓某一極化的光零損耗來回穿越 → 雷射輸出自然是線性極化 |
| 測量介電常數 | 量出 θ_B，反推 ε_r = tan²θ_B |
§2.10 第五章解題 SOP 總表
| 題型 | 關鍵詞 | SOP |
|---|---|---|
| 相位速度 | 「相位速度」 | 讀出 ω、k → v_p = ω/k（或 c/√(μ_r ε_r)） |
| 傳播方向 | 「傳播方向」 | 看 t 與 z 的符號：− → 正方向；並用「等相位面」論證 |
| 波長 | 「波長」 | λ = 2π/k（有 k 時）或 λ = v_p/f（有 f 時） |
| 求 H | 「磁場強度」 | H = (1/η)(k̂ × E)，先定方向再定大小 |
| 介質中波長 | 「介質」+「波長」 | v_p = c/√(μ_r ε_r) → λ = v_p/f（不能用 c/f） |
| 特性阻抗 | 「特性阻抗」/「本質阻抗」 | η = η₀√(μ_r/ε_r) |
| 極化 | 「極化狀態」 | 比振幅 + 比相位差 → 判形狀；再用 SOP 判旋向 |
| 集膚深度 | 「集膚深度」 | δ = 1/√(πfμσ)，先確認是良導體 |
| 反射角 | 「反射角」 | θ_r = θ_i（秒答，與材料無關） |
| 透射角 | 「透射角」 | n₁sinθ_i = n₂sinθ_t，n = √(μ_r ε_r) |
| 布魯斯特角 | 「布魯斯特角」 | tan θ_B = √(ε₂/ε₁) |
★ 第五章 例題完整詳解
【5-1 ~ 5-4 共用題幹】先把波「解剖」一次
題目共用條件：某電場 E(z) = ê_x · 10 cos(9π×10⁸ t − 3π z) (V/m) 於空氣中傳播。
這四題是同一個波的四個問題。所以第一件事：一次把所有參數讀出來，後面四題就都是查表。
╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ E = ê_x · 10 · cos( 9π×10⁸ t − 3π z ) ║
║ ── ───────── ──── ║
║ ① ② ③ ║
║ ║
║ ① 極化方向 = x̂ （E 沿 x 軸振動）→ 線性極化（x 方向） ║
║ 振幅 E₀ = 10 V/m ║
║ ║
║ ② t 的係數 = 角頻率 ω = 9π × 10⁸ rad/s ║
║ → 頻率 f = ω/(2π) = 9π×10⁸/(2π) = 4.5 × 10⁸ Hz = 450 MHz ║
║ ║
║ ③ z 的係數 = 波數 k = 3π rad/m ║
║ → 波長 λ = 2π/k = 2π/(3π) = 2/3 m ║
║ ║
║ ④ t 與 z 之間是「−」號 → 沿 +z 方向傳播 ║
║ ║
║ ⑤ 介質 = 空氣 → μ ≈ μ₀，ε ≈ ε₀，η ≈ η₀ = 120π ≈ 377 Ω ║
╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════╝
⚠️ 第一個陷阱：不要把 9π×10⁸ 當成頻率！它是角頻率 ω，頻率要再除以 2π。
【例題 5-1】相位速度
題目：試問該電場的相位速度為何？
📝 完整解答
【Step 1】相位速度的定義
「等相位面」（波峰）在空間中移動的速度。
令總相位為常數： ω t − k z = 常數
對 t 微分： ω − k (dz/dt) = 0
⟹ v_p = dz/dt = ω / k
【Step 2】代入讀出的參數
ω 9π × 10⁸ 9 ⁸
v_p = ───── = ────────── = ─── × 10 = 3 × 10⁸ m/s
k 3π 3
╔══════════════════════════════════╗
║ v_p = 3 × 10⁸ m/s ║
╚══════════════════════════════════╝
✅ 檢驗
檢驗 1：這個數字有意義嗎？ 3×10⁸ m/s 正是光速。題目說波在空氣中傳播，空氣的 μ_r ≈ ε_r ≈ 1，所以波速本來就應該等於光速。✓ 答案與題目條件完全自洽。
檢驗 2：用另一條路徑驗算（交叉驗證）
f = ω/2π = 4.5×10⁸ Hz， λ = 2π/k = 2/3 m
v_p = λ f = (2/3) × (4.5×10⁸) = 3 × 10⁸ m/s ✓ 完全一致
檢驗 3：單位 [ω/k] = (rad/s)/(rad/m) = m/s ✓
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| 算成 f/k 或 ω/λ | 必須是 ω/k（兩者都是「角度制」的量）或 λf（兩者都是「非角度制」） |
| 誤以為要用 c/√(μ_r ε_r) | 那是「已知材料求速度」；本題已經給了 ω 和 k，直接除即可（而且答案自動吻合） |
📊 配分建議
正確讀出 ω、k 各 25%｜v_p = ω/k 與數值 50%
💡 三行摘要
ω = 9π×10⁸，k = 3π
v_p = ω/k = 9π×10⁸ / 3π
= 3×10⁸ m/s（= 光速，與「空氣中」相符 ✓）
【例題 5-2】傳播方向
題目：試問該電場的傳播方向為何？
📝 完整解答（觀念題，要寫理由才有分）
【Step 1】找出「等相位面」（同一個波峰）的位置
總相位 φ(z,t) = ω t − k z
追蹤某一個特定的波峰，代表它的相位固定不變：
ω t − k z = C （C 為常數）
【Step 2】解出這個波峰的位置隨時間怎麼變
k z = ω t − C
z(t) = (ω t − C) / k
【Step 3】對時間微分，看它往哪邊移動
dz/dt = ω / k = 3 × 10⁸ m/s > 0
速度為【正】⟹ 波峰的位置隨時間【增加】⟹ 波往 +z 移動。
╔══════════════════════════════════════╗
║ 答：沿 +z 方向（+ẑ）傳播 ║
╚══════════════════════════════════════╝
💬 快速判斷法（考試時 1 秒）
┌──────────────────────────────────────────────────────┐
│ 時域：cos(ωt − kz) → 往 +z 「異號 → 正向」 │
│ cos(ωt + kz) → 往 −z 「同號 → 負向」 │
│ │
│ 相量： e^(−jkz) → 往 +z │
│ e^(+jkz) → 往 −z │
└──────────────────────────────────────────────────────┘
💬 【白話版：為什麼是這樣？】
相位就像波峰的「身分證號碼」。時間一直往前跑，ωt 這一項不斷變大。為了讓身分證號碼保持不變（還是同一個波峰），kz 也必須跟著變大來抵銷 → z 必須變大 → 波峰往 +z 跑。
再一個直覺記法：「t 和 z 打架（異號）→ 往前跑；t 和 z 同一國（同號）→ 往後跑」。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| 答 +x | x̂ 是 E 振動的方向（極化方向），不是傳播方向。這兩者永遠互相垂直！ |
| 只寫「+z」不給理由 | 觀念題的理由佔約一半配分，務必寫出等相位面的論證 |
| 記反成 −z | 用「異號往正」口訣，或現場推一次等相位面 |
📊 配分建議
理由（等相位面論證）50%｜答案 +z 50%
💡 三行摘要
等相位面：ωt − kz = 常數 → z = (ωt − C)/k
dz/dt = ω/k > 0 → 波峰位置隨 t 增加
⟹ 沿 +z 方向傳播（注意：x̂ 是極化方向，不是傳播方向）
【例題 5-3】波長
題目：試問該電場的波長為何？
📝 完整解答
【Step 1】波長的定義
波長 = 在「同一瞬間」，空間中相位相差 2π 的兩點之距離。
k · λ = 2π ⟹ λ = 2π / k
【Step 2】代入 k = 3π rad/m
2π 2
λ = ──────── = ─── m ≈ 0.667 m = 66.7 cm
3π 3
╔══════════════════════════════════════════════╗
║ λ = 2/3 m ≈ 0.667 m（約 66.7 公分） ║
╚══════════════════════════════════════════════╝
✅ 檢驗（用完全獨立的路徑驗算）
f = ω/2π = (9π×10⁸)/(2π) = 4.5 × 10⁸ Hz
空氣中： λ = c/f = (3×10⁸)/(4.5×10⁸) = 2/3 m ✓✓ 完全一致
兩條完全獨立的路徑（k 路徑 vs f 路徑）給出同一個答案，可信度極高。
💬 直覺檢查
450 MHz 的波，波長 0.67 m ≈ 一個成年人手臂的長度。這與常識相符：
| 頻率 | 波長 | 生活對照 |
|---|---|---|
| 100 MHz（FM 廣播） | 3 m | 汽車天線長度 |
| 450 MHz（本題） | 0.67 m | 對講機天線 |
| 2.4 GHz（WiFi） | 12.5 cm | 手掌大小 |
| 5 GHz（WiFi） | 6 cm | 手指長度 |
記憶捷徑：λ(m) = 300 / f(MHz) —— 用這個口算：300/450 = 0.667 m ✓
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| λ = 1/k | 少了 2π。k 是「每公尺轉幾弧度」，轉滿一圈才是一個波長 |
| λ = c/ω | ω 不是 f！差 2π |
| 忘記化簡 2π/3π | π 會約掉，答案是純數字 2/3 |
📊 配分建議
λ = 2π/k 50%｜數值 2/3 m 50%
💡 三行摘要
k = 3π rad/m
λ = 2π/k = 2π/3π
= 2/3 m ≈ 0.667 m（用 λ = c/f 驗算：3e8/4.5e8 = 2/3 ✓）
【例題 5-4】伴隨之磁場強度（在 z = 0 平面）
題目：隨之相伴而生的磁場強度在 z = 0 的平面為何？
🔎 這題在考什麼
這是四題裡最有份量的一題，考三件事：方向（叉積）、大小（本質阻抗）、表示式的完整性。
📝 完整解答（方向與大小分開處理，最不容易錯）
【Step 1】確認已知
E = ê_x · 10 cos(9π×10⁸ t − 3π z) V/m
傳播方向 k̂ = ẑ
介質為空氣 ⟹ η = η₀ = 120π ≈ 377 Ω
【Step 2】★ 先決定方向 ★（用 TEM 波的通用關係）
H = (1/η) · ( k̂ × E )
方向部分： k̂ × ê_x = ẑ × x̂ = ŷ
（查 §0.6 叉積速查：x̂ → ŷ → ẑ → x̂ 循環，ẑ × x̂ = ŷ ✓）
⟹ H 沿 +ŷ 方向
✅ 用鐵律 2 反向驗證：E × H 應該指向傳播方向
ê_x × ê_y = ê_z = k̂ ✓✓ 正確！
【Step 3】★ 再決定大小 ★
由鐵律 3：|E|/|H| = η
E₀ 10 10 1
H₀ = ──────── = ──────── = ──────── = ────── A/m
η η₀ 120π 12π
≈ 0.02653 A/m = 26.5 mA/m
（若用 η₀ = 377：10/377 = 0.02653 A/m，同樣的結果）
【Step 4】組出完整表示式（H 與 E 的「相位完全相同」，因為無損介質中 η 是實數）
H(z,t) = ŷ · (1/12π) · cos(9π×10⁸ t − 3π z) A/m
【Step 5】題目要 z = 0 的平面 → 代入 z = 0（−3πz 這項消失）
╔══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ H(0,t) = ê_y · (1/12π) · cos(9π×10⁸ t) ║
║ ║
║ ≈ ê_y · 0.0265 · cos(9π×10⁸ t) A/m ║
║ ║
║ = ê_y · 26.5 · cos(9π×10⁸ t) mA/m ║
╚══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
📐 三個向量的空間關係圖
ŷ ↑ H
|
|
└──────────→ ẑ （傳播方向 k̂）
/
/
x̂ ↙ E
右手定則：四指從 E(x̂) 轉向 H(ŷ)，拇指指向 ẑ ✓
E ⊥ H ⊥ k̂，三者兩兩垂直 ✓
✅ 檢驗
檢驗 1：單位 [E]/[η] = (V/m)/(Ω) = (V/m)/(V/A) = A/m ✓
檢驗 2：數量級 空氣中 E 與 H 的比值固定是 377。10 V/m 對應 10/377 ≈ 0.027 A/m。記住這個數字感：在自由空間，E 的數值大約是 H 的 377 倍。
檢驗 3：相位 無損介質中 η 是純實數 → E 與 H 同相（同時達到最大、同時為零）。若是在導體中，η 會是複數，E 與 H 就會有相位差（最大 45°）。
⚠️ 常見錯誤（本題陷阱最多）
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ 答 B 而不是 H | 題目問的是「磁場強度」＝ H（A/m）。若答 B = μ₀H = 3.33×10⁻⁸ T，就是答錯物理量，要扣分。「磁場強度」= H，「磁通量密度」= B，不可混用！ |
| 方向答成 −ŷ | 記成 E × k̂ 了。正確是 k̂ × E |
| 方向答成 x̂ 或 ẑ | H 不可能與 E 同向，也不可能與傳播方向同向（TEM 波） |
| 除錯數 | 是 E₀/η₀，不是 E₀×η₀ 也不是 η₀/E₀ |
| 忘記代 z = 0 | 題目明講「在 z = 0 的平面」，要把 −3πz 項拿掉 |
| 漏掉 cos 項 | 只寫振幅不算完整答案，要寫出完整的時間函數 |
🎯 觀念延伸：波印廷向量（附加分機會）
瞬時功率密度： S = E × H (W/m²)
平均功率密度： S_avg = (1/2) E₀ H₀ = (1/2)(E₀²/η₀)
= (1/2)(10²/377) = 0.1326 W/m² = 132.6 mW/m²
這代表這個波每平方公尺每秒攜帶約 0.13 焦耳的能量往 +z 送。
📊 配分建議
η₀ = 120π ≈ 377 Ω 佔 25%｜方向 ŷ（由 k̂×E 或 E×H 判斷）35%｜振幅與完整表示式 40%
💡 三行摘要
方向：H = (1/η)(k̂ × E)，ẑ × x̂ = ŷ → H 沿 +ŷ
大小：H₀ = E₀/η₀ = 10/120π = 1/12π ≈ 0.0265 A/m
H(0,t) = ŷ · 0.0265 cos(9π×10⁸ t) A/m（注意是 H 不是 B！）
【5-5 ~ 5-6 共用題幹】
f = 3 GHz 的均勻平面波在無限大介質中傳輸，ε_r = 7，μ_r = 3。
先算兩個「萬用中間量」，兩題都要用：
乘積（管速度、波長）： √(μ_r ε_r) = √(3 × 7) = √21 ≈ 4.583
比值（管阻抗）： √(μ_r/ε_r) = √(3/7) ≈ √0.4286 ≈ 0.6547
💬 口訣再念一次：「速度看乘積，阻抗看比值」。
【例題 5-5】介質中之波長
題目：試求此平面波之波長。
📝 完整解答（方法一：先求速度再求波長）
【Step 1】求介質中的相位速度
1 c 3 × 10⁸
v_p = ───────── = ───────────── = ─────────────
√(με) √(μ_r ε_r) √21
= 3×10⁸ / 4.583 = 6.546 × 10⁷ m/s
（約為光速的 21.8%）
【Step 2】求波長（★ 關鍵：用介質中的 v_p，不是 c ★）
v_p 6.546 × 10⁷
λ = ──────── = ─────────────── = 0.02182 m
f 3 × 10⁹
╔══════════════════════════════════════════════════════╗
║ λ ≈ 0.0218 m = 2.18 cm ≈ 2.2 公分 ║
╚══════════════════════════════════════════════════════╝
📝 方法二（更快，考試建議用這個）
自由空間波長：
λ₀ = c/f = (3×10⁸)/(3×10⁹) = 0.1 m = 10 cm
介質中波長：
λ = λ₀ / √(μ_r ε_r) = 10 cm / √21 = 10/4.583 = 2.18 cm ✓
（一步到位，且不容易在指數上出錯）
✅ 檢驗
檢驗 1：方向性 進入介質後波長應該變短（因為速度變慢，頻率不變）。10 cm → 2.18 cm ✓ 變短了。
檢驗 2：倍率 縮短的倍率應該恰好是 n = √21 ≈ 4.58 倍。10/2.18 = 4.59 ✓
檢驗 3：v_p < c 6.55×10⁷ < 3×10⁸ ✓（若算出大於光速，一定是把 √(μ_r ε_r) 乘錯邊了）
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ 用 λ = c/f | 得到 10 cm，這是自由空間的波長，不是介質中的。這是本題唯一的重點 |
| v_p = c × √(μ_r ε_r) | 乘錯邊！會得到 1.37×10⁹ m/s > 光速，物理上不可能 |
| 只用 ε_r 忘了 μ_r | 得 λ = 10/√7 = 3.78 cm。題目特意給 μ_r = 3 就是要測這一點！ |
| 頻率變了 | 頻率永遠不變，變的是 λ 和 v_p |
📊 配分建議
v_p = c/√(μ_r ε_r)（或等效式）50%｜數值 2.18 cm 50%
💡 三行摘要
√(μ_r ε_r) = √21 = 4.583
λ₀ = c/f = 10 cm
λ = λ₀/√21 = 2.18 cm（≈ 0.0218 m）
【例題 5-6】介質之特性阻抗（本質阻抗）
題目：試求此平面波之特性阻抗。
📝 完整解答
【Step 1】本質阻抗的定義與展開
η = √(μ/ε) = √( μ₀μ_r / (ε₀ε_r) ) = √(μ₀/ε₀) · √(μ_r/ε_r)
= η₀ · √(μ_r/ε_r)
【Step 2】代入數值
η = 120π · √(3/7)
= 376.99 × 0.65465
= 246.8 Ω
╔══════════════════════════════════╗
║ η ≈ 246.8 Ω ≈ 247 Ω ║
╚══════════════════════════════════╝
✅ 檢驗
檢驗 1：合理範圍 因為 ε_r (7) > μ_r (3)，所以 √(μ_r/ε_r) < 1 → η 應該小於 377 Ω。247 < 377 ✓
檢驗 2：交叉驗證（用 v_p 與 μ 算）
η 也可以寫成 η = μ · v_p = (μ₀μ_r)(v_p)
= (4π×10⁻⁷)(3)(6.546×10⁷) = 1.2566e−6 × 3 × 6.546e7 = 246.8 Ω ✓✓
兩條獨立路徑一致，答案穩了。
檢驗 3：單位 √(H/F) = Ω ✓
💬 這題想考的核心觀念
η 看的是「比值 μ_r/ε_r」，λ 看的是「乘積 μ_r ε_r」。 出題者故意給 μ_r ≠ 1，就是要區分出「有沒有真的理解這兩個公式的差別」。
| 量 | 公式 | 本題數值 |
|---|---|---|
| 波長、速度、折射率 | 用 √(μ_r ε_r) = √21 = 4.583 | λ = 2.18 cm |
| 本質阻抗 | 用 √(μ_r/ε_r) = √(3/7) = 0.6547 | η = 247 Ω |
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ 寫成 η₀√(ε_r/μ_r) | 倒過來了，會得到 377×1.528 = 576 Ω。這是最常見的錯，公式分通常不給 |
| 用 √(μ_r ε_r) | 把「比值」和「乘積」搞混，會得到 377×4.583 = 1728 Ω（明顯不合理） |
| 忘記 η₀ | 只寫 √(3/7) = 0.655（無單位，明顯錯誤） |
📊 配分建議
η = η₀√(μ_r/ε_r) 50%｜數值 ≈ 247 Ω 50%
💡 三行摘要
η = η₀ √(μ_r/ε_r) = 120π × √(3/7)
= 377 × 0.6547
≈ 246.8 Ω ≈ 247 Ω（< 377 ✓ 因為 ε_r > μ_r）
【例題 5-7】極化狀態
題目：如果一個 TEM 波的電場相量為 E = (ê_x j + ê_y) e^(−jkz)，請問其極化狀態為何？
🔎 這題在考什麼
極化題的完整流程：① 判形狀（線性/圓/橢圓）② 判旋向（左/右）。 兩步都要做才算完整。
📝 完整解答
第一部分：判斷形狀
【Step 1】拆出兩個分量的複數係數
E_x = j = 1 · e^(j90°) = 1∠90° ⟹ 振幅 1，相位 +90°
E_y = 1 = 1 · e^(j0°) = 1∠0° ⟹ 振幅 1，相位 0°
【Step 2】比對判定表（§2.6.2）
① 振幅相等嗎？ |E_x| = |E_y| = 1 ✓ 相等
② 相位差多少？ Δφ = φ_x − φ_y = 90° ✓ 恰好 90°
「等振幅 + 相位差 90°」 ⟹ 【圓極化】✓
第二部分：判斷旋向（用 §2.6.3 的 SOP）
【Step 1】寫出時域的 E_x(t)、E_y(t)（取 z = 0）
還原公式：E(t) = Re{ Ẽ · e^(jωt) }
E_x(t) = Re{ j · e^(jωt) }
= Re{ j (cos ωt + j sin ωt) }
= Re{ j cos ωt + j² sin ωt }
= Re{ − sin ωt + j cos ωt }
= − sin(ωt)
E_y(t) = Re{ 1 · e^(jωt) } = cos(ωt)
所以： E(t) = x̂ (−sin ωt) + ŷ (cos ωt)
【Step 2】代幾個時刻，畫出 E 的轉動
┌────────────┬──────────┬──────────┬────────────────┐
│ ωt │ E_x │ E_y │ E 指向 │
├────────────┼──────────┼──────────┼────────────────┤
│ 0 │ 0 │ +1 │ +y ↑ │
│ π/2 (90°)│ −1 │ 0 │ −x ← │
│ π (180°)│ 0 │ −1 │ −y ↓ │
│ 3π/2(270°)│ +1 │ 0 │ +x → │
│ 2π (360°)│ 0 │ +1 │ +y ↑（回到）│
└────────────┴──────────┴──────────┴────────────────┘
轉動順序： +y → −x → −y → +x → +y ...
畫在 x-y 平面上（z 軸指出紙面，朝向讀者）：
+y
↑
② | ① ① ωt=0 在 +y
−x ←──────┼──────→ +x ② ωt=90° 在 −x
| ③ ωt=180° 在 −y
③ | ④ ④ ωt=270° 在 +x
↓
−y
轉動方向：① → ② → ③ → ④ 是【逆時針】
（從 +z 方向往回看，即「從波的前方看向波源」時）
【Step 3】用右手定則判定
右手拇指指向【傳播方向 +z】，四指自然捲曲的方向是：
+x → +y → −x → −y → +x （即 x 轉向 y）
我們的 E 轉動方向是：
+y → −x → −y → +x → +y
這兩個是【同一個旋轉方向】嗎？
把「+x → +y → −x → −y」這個序列從第二項開始讀：
「+y → −x → −y → +x」 ← 完全一樣！ ✓
⟹ E 的旋轉與右手四指方向【一致】 ⟹ 【右旋】
📝 更快的相量檢驗法（考場上 10 秒鐘）
把整體因子提出來：
( ê_x j + ê_y ) = j · ( ê_x + ê_y / j )
= j · ( ê_x − j ê_y ) （因為 1/j = −j）
前面的整體因子 j 只是「全體共同的相位平移 90°」，
相當於把碼表歸零的時間點挪一下，【完全不影響極化形狀與旋向】。
而 ( ê_x − j ê_y ) e^(−jkz) 正是【標準的右旋圓極化 RHCP】形式
（§2.6.3 的口訣：「減 j 是右」）✓
🎯 最終答案
╔═══════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ 答：【圓極化】，且為【右旋】(RHCP, Right-Hand Circular ║
║ Polarization) ║
║ ║
║ （採 IEEE / 電機工程慣例；部分教材將此稱為 ║
║ "positive circular polarization"，指的是同一件事） ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════╝
⚠️ 慣例說明（改卷注意）
若課程採用光學慣例（面向來波觀察），同一個波會被稱為「左旋」。請依授課慣例作答。 但無論慣例為何，「判定為圓極化 + 完整寫出旋轉分析過程」就應該拿到絕大部分分數。
✅ 檢驗
檢驗 1：軌跡真的是圓嗎？
E_x² + E_y² = (−sin ωt)² + (cos ωt)² = sin²ωt + cos²ωt = 1 （常數）
E 的長度永遠是 1，不隨時間改變 → 尖端軌跡是半徑 1 的圓 ✓ 這是最嚴格的驗證。
檢驗 2：如果是線性極化會怎樣？ 例如 (x̂ + ŷ)：E_x = E_y = cos ωt，E_x² + E_y² = 2cos²ωt 會隨時間變化（在 0 與 2 之間脈動）→ 那就是一條在 45° 方向上來回擺動的直線，不是圓 ✓ 檢驗方法有效。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| 只答「圓極化」不判旋向 | 通常只能拿約 40~60% |
| 誤判成線性極化 | 沒注意到 j 代表 90° 相位差 |
| 誤判成橢圓 | 沒注意到兩個振幅都是 1（相等） |
| 時域還原錯誤 | Re{j·e^(jωt)} = **−**sin ωt，不是 +sin ωt。這個負號會讓旋向完全反過來！ |
| 右手定則的拇指指錯 | 拇指必須指傳播方向，本題是 +z（因為 e^(−jkz)） |
📊 配分建議
指出等振幅、相位差 90° → 圓極化 40%｜時域（或相量）旋向分析正確 40%｜旋向命名正確 20%
💡 三行摘要
E_x = j = 1∠90°，E_y = 1 = 1∠0° → 等振幅、差 90° → 圓極化
時域 z=0：E = x̂(−sin ωt) + ŷ(cos ωt)，轉動 +y→−x→−y→+x
右手拇指指 +z，四指方向一致 → 【右旋圓極化 RHCP】
（速解：jx̂+ŷ = j(x̂ − jŷ)，「減 j 是右」✓）
【例題 5-8】銅在 20 GHz 之集膚深度
題目：請計算銅導體在 20 GHz 時的集膚深度。（銅的導電率 σ = 5.813×10⁷ S/m）
📝 完整解答
【Step 0】★ 先驗證「良導體」近似能不能用 ★（嚴謹作答的加分項）
損耗正切 = σ/(ω ε₀)
= 5.813×10⁷ / ( 2π×2×10¹⁰ × 8.854×10⁻¹² )
= 5.813×10⁷ / 1.1127
≈ 5.2 × 10⁷ ≫ 1 ✓✓✓
遠遠大於 1 ⟹ 銅在 20 GHz 【絕對是良導體】，
可以放心使用 δ = 1/√(πfμσ)。
【Step 1】列出已知（注意單位換算）
f = 20 GHz = 2 × 10¹⁰ Hz
μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m （銅是非磁性材料，μ_r = 1）
σ = 5.813 × 10⁷ S/m
【Step 2】寫出公式
δ = 1 / √( π f μ σ )
【Step 3】分步計算 π f μ σ（★ 分步做，指數最不容易錯 ★）
π × f = π × 2×10¹⁰ = 6.2832 × 10¹⁰
× μ₀ = 6.2832×10¹⁰ × 4π×10⁻⁷
= 6.2832 × 4π × 10^(10−7)
= 78.957 × 10³ = 7.8957 × 10⁴
× σ = 7.8957×10⁴ × 5.813×10⁷
= 45.898 × 10^(4+7)
= 4.5898 × 10¹²
【技巧】也可以整式化簡：
π f μ₀ σ = π (2×10¹⁰)(4π×10⁻⁷)(5.813×10⁷)
= 8π² × 5.813 × 10^(10−7+7)
= 8 × 9.8696 × 5.813 × 10¹⁰
= 459.0 × 10¹⁰ = 4.590 × 10¹² ✓ 一致
【Step 4】開根號
√(4.590 × 10¹²) = √4.590 × 10⁶ = 2.1424 × 10⁶
【Step 5】取倒數
1
δ = ───────────── = 4.668 × 10⁻⁷ m
2.1424 × 10⁶
╔══════════════════════════════════════════════════════════╗
║ δ ≈ 4.67 × 10⁻⁷ m = 0.467 μm ≈ 0.47 微米 ║
╚══════════════════════════════════════════════════════════╝
✅ 檢驗
檢驗 1：數量級直覺 銅在不同頻率的集膚深度（這張表值得記，非常好用）：
| 頻率 | δ（銅） | 對照 |
|---|---|---|
| 60 Hz | 8.5 mm | 電力線 |
| 1 kHz | 2.1 mm | 音頻 |
| 1 MHz | 66 μm | AM 廣播 |
| 1 GHz | 2.1 μm | 手機 |
| 20 GHz（本題） | 0.47 μm | 5G 毫米波前段 |
規律：頻率每增加 100 倍，δ 減為 1/10（因為 δ 與 √f 成反比）。
從 1 GHz (2.1 μm) 到 20 GHz：δ 應該變成 2.1/√20 = 2.1/4.47 = 0.47 μm ✓✓ 完全吻合。
檢驗 2：用另一個公式驗算
δ = √( 2/(ωμσ) ) = √( 2 / (2π×2×10¹⁰ × 4π×10⁻⁷ × 5.813×10⁷) )
= √( 2 / (9.180×10¹²) ) = √(2.179×10⁻¹³) = 4.668×10⁻⁷ m ✓
檢驗 3：物理意義 0.47 μm 比一根頭髮（約 70 μm）細 150 倍，也比可見光波長（0.4~0.7 μm）還小。所以 20 GHz 的電流實際上只在銅的最表層不到半微米內流動 —— 這就是為什麼毫米波電路的表面粗糙度會嚴重影響損耗。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ 用 ω 代入 f 的位置 | δ = 1/√(πfμσ)，如果誤代 ω 會差 √(2π) ≈ 2.5 倍 |
| 忘記 GHz = 10⁹ | 20 GHz = 2×10¹⁰ Hz，不是 20×10⁹ 寫成 2×10⁹ |
| 開根號後忘記處理 10¹² | √(10¹²) = 10⁶（指數除以 2） |
| μ 用錯 | 銅是非磁性，μ = μ₀。若是鐵（μ_r ≈ 5000）δ 會小 70 倍 |
| 忘記取倒數 | δ = 1/α，α = √(πfμσ) |
📊 配分建議
δ = 1/√(πfμσ)（或 √(2/ωμσ)）40%｜代入過程 30%｜數值 ≈ 0.467 μm 30%
💡 三行摘要
先確認良導體：σ/(ωε₀) ≈ 5×10⁷ ≫ 1 ✓
πfμ₀σ = 8π² × 5.813 × 10¹⁰ = 4.59×10¹²，√ = 2.142×10⁶
δ = 1/2.142×10⁶ = 4.67×10⁻⁷ m = 0.467 μm
【5-9 ~ 5-10 共用題幹】
一平行極化平面波以入射角 θ_i = 45°，從空氣(ε₁ = ε₀, μ₁ = μ₀) 入射到一半無窮大的無損介質(ε₂ = 5.5ε₀, μ₂ = μ₀)。
【先算折射率】
n₁ = √(μ_r1 ε_r1) = √(1 × 1) = 1
n₂ = √(μ_r2 ε_r2) = √(1 × 5.5) = √5.5 ≈ 2.345
【圖示】
法線
|
入射波 ＼ | ／ 反射波
＼ | ／
θ_i ＼|／ θ_r
─────────────┼───────────── 界面
|＼ 介質 2 (ε_r = 5.5)
| ＼
|θ_t＼
| ＼ 透射波
【例題 5-9】反射角
題目：請問反射角 (θ_r) 為何？
📝 完整解答（這是送分題，但理由要寫）
【Step 1】引用相位匹配條件（§2.7.1）
入射波與反射波【都在介質 1 中】，所以它們的波數相同（同為 k₁）。
界面上的相位匹配要求：
k₁ sin θ_i = k₁ sin θ_r
【Step 2】約掉 k₁
sin θ_i = sin θ_r ⟹ θ_r = θ_i
【Step 3】代入題目
╔═══════════════════════════════╗
║ θ_r = θ_i = 45° ║
╚═══════════════════════════════╝
🎯 最重要的觀念（這題真正在考的東西）
╔══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ 反射定律 θ_r = θ_i 【與下列因素完全無關】： ║
║ ║
║ ✗ 兩介質的 ε_r、μ_r 是多少 （題目給 5.5 是「誘餌」） ║
║ ✗ 波是平行極化還是垂直極化 （題目講平行也是誘餌） ║
║ ✗ 頻率是多少 ║
║ ✗ 有沒有損耗 ║
║ ║
║ 因為反射波與入射波【在同一個介質裡】，兩者的 k 必然相同。 ║
║ 這純粹是幾何/運動學的結果。 ║
╚══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
💬 【白話版】 就像撞球撞到桌邊，入射角等於反射角，跟球是紅的還是藍的、桌邊是木頭還是塑膠都沒關係。唯一的例外是球「鑽進去」了（那是折射，就要看材料了）。
⚠️ 這題最大的風險是「想太多」：看到 5.5 和「平行極化」就去套 Fresnel 公式或 Snell 公式，反而算出錯誤答案。看到「反射角」三個字，就是抄入射角。
📊 配分建議
引用反射定律（含理由）60%｜θ_r = 45° 40%
💡 三行摘要
相位匹配：k₁ sin θ_i = k₁ sin θ_r（反射波仍在介質 1，k 相同）
⟹ θ_r = θ_i
⟹ θ_r = 45°（與 ε_r、極化方式、頻率皆無關）
【例題 5-10】透射角
題目：請問透射角 (θ_t) 為何？
📝 完整解答
【Step 1】司乃耳折射定律
n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_t
其中 n = √(μ_r ε_r)
【Step 2】代入折射率
n₁ = 1（空氣）
n₂ = √(1 × 5.5) = √5.5 = 2.3452
【Step 3】解出 sin θ_t
n₁ sin θ_i 1 × sin 45° 0.70711
sin θ_t = ──────────── = ─────────────── = ───────── = 0.30151
n₂ 2.3452 2.3452
【Step 4】反三角
θ_t = sin⁻¹(0.30151)
╔════════════════════════════════════════════╗
║ θ_t ≈ 17.55° ≈ 17.5° ║
╚════════════════════════════════════════════╝
✅ 檢驗
檢驗 1：方向性（最重要的檢驗）
進入光密介質（n₂ = 2.345 > n₁ = 1）時，光線應該折向法線，也就是 θ_t < θ_i。
17.55° < 45° ✓ 通過。（若你算出 θ_t > 45°，一定是把 n₁、n₂ 放反了。）
檢驗 2：sin θ_t 必須 ≤ 1 → 0.302 ✓（若 > 1 表示發生全反射，但那只可能在 n₁ > n₂ 時）
檢驗 3：反代驗算
n₂ sin θ_t = 2.3452 × sin(17.55°) = 2.3452 × 0.30151 = 0.7071 = sin 45° ✓
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ n₁、n₂ 放反 | 寫成 sin θ_t = n₂ sin θ_i / n₁ = 1.658 > 1 → 無解，馬上就知道錯了 |
| 用 5.5 而不是 √5.5 | 折射率是 √ε_r 不是 ε_r。會得到 sin θ_t = 0.1286 → 7.4°（錯） |
| 忘記 μ_r | 本題 μ_r = 1 所以沒差，但公式要寫完整 n = √(μ_r ε_r) |
| 計算機在弧度模式 | 記得切到 DEG |
| 誤以為「平行極化」會改變角度 | 不會。極化只影響「反射多少」（Fresnel 係數），不影響「往哪個角度走」 |
🎯 補充：那「平行極化」到底影響什麼？
這兩題給的「平行極化」條件，在求角度時完全用不到。它真正影響的是能量分配：
本題若要算反射係數（Fresnel）：
η₁ = 377 Ω，η₂ = 377/√5.5 = 160.8 Ω
Γ_∥ = (η₂cos θ_t − η₁cos θ_i)/(η₂cos θ_t + η₁cos θ_i)
= (160.8×0.9534 − 377×0.7071)/(160.8×0.9534 + 377×0.7071)
= (153.3 − 266.6)/(153.3 + 266.6)
= −113.3/419.9 = −0.270
|Γ_∥|² ≈ 7.3% 的功率被反射，92.7% 透射進去。
了解這一點，就能明白為什麼 5-9、5-10 給的「平行極化」是為了鋪陳 5-11（布魯斯特角）——布魯斯特角只對平行極化存在。
📊 配分建議
Snell 定律 40%｜正確代入 sin θ_t = 0.3015 40%｜θ_t ≈ 17.5° 20%
💡 三行摘要
n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_t，n₂ = √5.5 = 2.345
sin θ_t = sin45°/2.345 = 0.7071/2.345 = 0.3015
θ_t = 17.55° ≈ 17.5°（< 45° ✓ 折向法線）
【例題 5-11】純水的布魯斯特角
題目：純水的介電常數為 80，試求平行極化的布魯斯特角 (θ_B)。
📝 完整解答
【Step 1】布魯斯特角公式（平行極化，非磁性介質）
tan θ_B = √( ε₂ / ε₁ ) ← 相對折射率 n₂/n₁
【Step 2】代入（介質 1 為空氣：ε₁ = ε₀；介質 2 為水：ε₂ = 80ε₀）
tan θ_B = √( 80ε₀ / ε₀ ) = √80 = 8.9443
【Step 3】反三角
θ_B = tan⁻¹(8.9443)
╔═══════════════════════════════════════════════╗
║ θ_B ≈ 83.62° ≈ 83.6° ║
╚═══════════════════════════════════════════════╝
✅ 三重檢驗
檢驗 1：用等價公式驗算
sin θ_B = √( ε₂/(ε₁+ε₂) ) = √( 80/81 ) = √0.98765 = 0.99380
θ_B = sin⁻¹(0.99380) = 83.62° ✓✓ 完全一致
檢驗 2：用「θ_B + θ_t = 90°」的幾何性質驗算
若 θ_B = 83.62°，由 Snell 求透射角：
sin θ_t = sin(83.62°)/√80 = 0.99380/8.9443 = 0.11111
θ_t = sin⁻¹(0.11111) = 6.379°
θ_B + θ_t = 83.62° + 6.38° = 90.00° ✓✓✓ 完美
三條完全獨立的路徑得到同一個答案，這題絕對正確。
檢驗 3：合理性 水的折射率很大（√80 = 8.94，這是微波頻段的值），所以 θ_B 應該很接近 90°（幾乎是掠射）。83.6° ✓ 符合預期。
💬 一個很有意思的物理補充
⚠️ 注意：ε_r = 80 是水在「低頻/微波頻段」的值。 在可見光頻段，水的 ε_r 只有約 1.77（因為極性水分子在光頻下來不及跟著電場轉動了），所以：
可見光： n = √1.77 = 1.33（大家熟悉的「水的折射率 1.33」）
θ_B = tan⁻¹(1.33) = 53.1° ← 這才是「湖面反光最強的角度」
同一個物質，不同頻率，介電常數可以差 45 倍！ 這叫色散 (dispersion)，也是為什麼彩虹會分色。本題用 80，答案就是 83.6°；如果哪天題目講「可見光」，記得改用 1.77。
🎯 物理意義複習（申論題必寫）
在 θ_B 這個角度：
• 平行極化 (p-pol) 的波【完全不反射】，100% 透射進水裡
• 垂直極化 (s-pol) 的波仍然會反射
⟹ 所以在布魯斯特角附近，從水面反射的光【幾乎純粹是垂直極化】
（振動方向平行於水面，也就是「水平振動」）
⟹ 這就是【偏光太陽眼鏡】的原理：
眼鏡的偏光片只擋住「水平振動」的光
→ 水面/路面的眩光被大幅削弱，但正常景物只減弱約一半
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ 用 sin θ_B = √(ε₂/ε₁) | √80 = 8.94 > 1，sin 不可能大於 1 → 無解。要用 tan |
| tan θ_B = ε₂/ε₁ = 80 | 忘了開根號，得 89.28°（接近但錯） |
| 上下顛倒 tan θ_B = √(ε₁/ε₂) | 得 tan⁻¹(0.1118) = 6.38°（這其實是 θ_t！） |
| 計算機在 RAD 模式 | tan⁻¹(8.944) 在弧度制是 1.459，記得換算/切模式 |
| 答垂直極化也有 θ_B | 非磁性介質下垂直極化沒有布魯斯特角 |
📊 配分建議
tan θ_B = √(ε₂/ε₁)（或等價式）50%｜數值 ≈ 83.6° 50%
💡 三行摘要
tan θ_B = √(ε₂/ε₁) = √80 = 8.944
θ_B = tan⁻¹(8.944)
= 83.62° ≈ 83.6°（驗算：sin⁻¹√(80/81) = 83.62° ✓，θ_B+θ_t = 90° ✓）