電磁學(II)完全攻略講義 Part 1｜第四章：時變電磁場與馬克斯威爾方程式
📚 《電磁學(II) 完全攻略講義》系列：本文是第 2 篇（共 6 篇）
Part 0｜工具箱 ・ Part 1｜第四章（本篇） ・ Part 2｜第五章 ・ Part 3｜第六章 ・ Part 4｜附錄 ・ Part 5｜增補篇
文中 §0.x～§3.x 編號依序位於 Part 0～3；附錄 A～E 在 Part 4、附錄 F～N 在 Part 5。
本章對應題目：4-1（Maxwell 方程式與連續方程式）、4-2（平行板電感）、4-3（互感）、4-4（磁力夾角）、4-5（位移電流比）
§1.1 為什麼需要「時變」電磁學？
在第一冊（電磁學 I）中，你學到的是靜態的情況：
靜電學： ∇×E = 0 ∇·D = ρ_v
靜磁學： ∇×H = J ∇·B = 0
注意這四條方程式：E 和 H 完全沒有出現在對方的式子裡。它們是兩個不相干的世界，一個管電、一個管磁，井水不犯河水。
但只要引入「隨時間變化」，這兩個世界就被綁死在一起了：
- 1831 年，法拉第發現：變化的磁場會產生電場。（∇×E = −∂B/∂t）
- 1861~1865 年，馬克斯威爾推論：變化的電場也會產生磁場。（+∂D/∂t 那一項）
💬 【白話版】 這就像原本兩個互不認識的人，現在變成互相推對方前進的搭檔：
變化的 E ──產生──> 變化的 B ──產生──> 變化的 E ──產生──> ...
一旦開始，就會永遠接力下去，不需要電荷也不需要電流——這個「自我維持的接力」脫離導線跑到空間裡去，就是電磁波。
這就是第五章、第六章的全部物理來源。第四章是它們的憲法。
§1.2 法拉第感應定律
🎯 【嚴格版】
微分形式： ∇ × E = −∂B/∂t
積分形式： ∮_C E·dl = −dΦ_B/dt = −(d/dt)∫_S B·dS
─────────
= emf（電動勢）
💬 【白話版】 把一個線圈放在變化的磁場裡，線圈裡就會產生電壓，推動電子繞圈跑。發電機、變壓器、無線充電、感應爐、電磁爐，全部都是這一條。
🔍 【負號是什麼？——冷次定律】
負號代表：感應出來的電流所產生的磁場，一定會「反抗」原本磁通量的改變。
💬 【白話版】 你把磁鐵往線圈裡插，線圈會產生一個「推回去」的力，讓你覺得很難插。你把磁鐵往外拔，線圈會「吸住」磁鐵不讓你拔。大自然很懶惰，永遠抗拒改變。
🔍 【如果沒有負號會怎樣？】 那你輕輕一推磁鐵，線圈就會產生「幫你推」的力，磁鐵越跑越快，能量憑空暴增 → 永動機 → 違反能量守恆。所以這個負號是能量守恆的直接後果，不是隨便加的。
三種產生 emf 的情況（Cheng 的分類，觀念題常考）
| 類型 | 情況 | 公式 |
|---|---|---|
| ① 變壓器 emf | 迴路不動，B 隨時間變 | emf = −∫_S (∂B/∂t)·dS |
| ② 運動 emf | B 不變，迴路在動 | emf = ∮_C (v × B)·dl |
| ③ 一般情況 | 兩者都有 | emf = −∫(∂B/∂t)·dS + ∮(v×B)·dl |
§1.3 位移電流：物理史上最偉大的「補丁」
這是整個第四章的靈魂，也是【例題 4-5】的觀念來源。
1.3.1 矛盾出現了
安培原始的定律是：
∇ × H = J
我們對它兩邊取散度看看：
∇·(∇×H) = ∇·J
左邊由恆等式（§0.3.6）恆為 0：
0 = ∇·J
這表示：電流密度的散度永遠是零，也就是「電荷永遠不會在任何地方累積」。
但這顯然是錯的！電容器充電時，電荷就是不斷累積在極板上。
1.3.2 電容器悖論（用圖說話）
考慮一個正在充電的電容器，導線上有電流 I 流過。我們用安培定律的積分形式 ∮_C H·dl = I_enc，選一條繞著導線的封閉曲線 C。
問題來了：斯托克斯定理說，∮_C H·dl 等於任何一個以 C 為邊界的曲面上的通量。那我可以選兩個不同的面：
S₁ (碗形面，切過導線)
╭─────╮
I →──────────────╳──────╯ ┃┃
────────────────────┼─────────────┃┃───────────── 電容器極板
C ┃┃
(封閉曲線) ┃┃
╰──────╮ ┃┃
╰─────┼┼───╮
┃┃ │ S₂ (延伸到兩板之間才封口)
┃┃───╯
選 S₁：穿過導線 → I_enc = I ← ∮H·dl = I
選 S₂：從兩板中間穿過 → 那裡沒有任何電荷在流動！ I_enc = 0 ← ∮H·dl = 0
同一條曲線 C，同一個 ∮H·dl，卻算出兩個不同的答案（I 和 0）。這是徹底的矛盾。
1.3.3 Maxwell 的解法
Maxwell 說：兩板之間雖然沒有「電荷在流動」，但那裡有正在快速變化的電場。他假設變化的電場也能像電流一樣產生磁場，並把它命名為位移電流密度：
J_d ≡ ∂D/∂t （單位 A/m²，與 J 相同）
修正後的安培–馬克斯威爾定律：
∇ × H = J + ∂D/∂t
─ ─────
傳導電流 位移電流
1.3.4 驗證：位移電流的大小剛剛好
🔍 【為什麼剛好補上？】完整計算
平行板電容器，極板面積 A，某瞬間帶電量 Q。
兩板之間的電通量密度（由高斯定律，D = 面電荷密度 ρ_s）：
D = Q/A
位移電流密度：
J_d = ∂D/∂t = (1/A)(dQ/dt)
通過整個極板面積的位移電流總量：
I_d = J_d · A = dQ/dt
而 dQ/dt 正是「每秒有多少電荷流進極板」= 導線上的傳導電流 I！
I_d = I ✓✓✓
完美接軌。 用 S₂ 時，穿過的不是傳導電流而是位移電流，大小恰好也是 I，兩個面算出同一個答案，矛盾消失。
1.3.5 位移電流的重大意義
⚠️ 注意名稱陷阱：位移電流不是真的有電荷在移動。它是「變化的電場扮演電流的角色去產生磁場」。名字裡有「電流」只是因為它在方程式裡佔的位置和單位跟電流一樣。
🎯 它的重要性怎麼強調都不為過：
- 沒有 ∂D/∂t，變化的電場就不會產生磁場，「電生磁、磁生電」的接力就斷了一半。
- 沒有這一項，把四條方程式合併推不出波動方程式（§2.1）→ 沒有電磁波。
- Maxwell 推出電磁波速度 = 1/√(μ₀ε₀) = 3×10⁸ m/s，恰好等於當時已測得的光速 → 他大膽宣布「光就是電磁波」。這是物理史上最偉大的統一之一。
- 20 多年後（1887）赫茲用實驗做出了電磁波，證實 Maxwell 是對的。今天所有的 WiFi、5G、雷達、微波爐、衛星通訊，源頭都是這一項。
§1.4 馬克斯威爾方程式完整檔案（4-1 題直接默寫）
🎯 【四條方程式 — 一定要能默寫】
| # | 名稱 | 微分形式 | 積分形式 | 白話意義 |
|---|---|---|---|---|
| ① | 法拉第定律 | ∇×E = −∂B/∂t | ∮_C E·dl = −dΦ_B/dt | 變化的磁場生電場（磁生電） |
| ② | 安培–馬克斯威爾定律 | ∇×H = J + ∂D/∂t | ∮_C H·dl = I + dΦ_D/dt | 電流與變化的電場生磁場（電生磁） |
| ③ | 高斯定律 | ∇·D = ρ_v | ∮_S D·dS = Q_enc | 電荷是電場線的源頭 |
| ④ | 磁高斯定律 | ∇·B = 0 | ∮_S B·dS = 0 | 沒有磁單極，磁力線永遠閉合 |
輔助的本構關係式 (constitutive relations)（描述「材料的性質」，不是 Maxwell 方程式本身，但缺了就解不出來）：
D = εE （電性材料關係）
B = μH （磁性材料關係）
J = σE （歐姆定律的微分形式）
再加上勞侖茲力定律（描述場如何反過來作用在電荷上）：
F = q(E + v × B)
這樣就構成了古典電磁學的完整封閉系統。
💬 【記憶口訣】
兩條旋度（∇×） → 描述「電與磁如何互相產生」→ 動態、耦合、產生波
兩條散度（∇·） → 描述「場線從哪來、到哪去」→ 源頭問題
一邊 D、E 一組（電），一邊 B、H 一組（磁），左右對稱，只差在
「電有單極（電荷），磁沒有單極」→ 所以 ∇·D = ρ 而 ∇·B = 0
§1.5 連續方程式與電荷守恆（4-1 的第二問）
🎯 【嚴格版】
∇ · J = − ∂ρ_v/∂t （微分形式）
∮_S J·dS = − dQ_enc/dt （積分形式）
💬 【白話版】 「從一個封閉區域流出去的電流，一定等於這個區域內電荷減少的速率。」
電荷不會憑空消失，也不會憑空出現。要讓某個房間裡的電荷變少，唯一的辦法就是讓它從門口流出去。這就是電荷守恆定律。
🔍 【完整推導 — 這就是 4-1 題的答案】 詳見後面的【例題 4-1】完整解答。
§1.6 邊界條件（第五章反射折射的基礎）
雖然本次作業沒有直接考，但第五章的 Snell 定律、Fresnel 係數全部從這裡來，所以列出備查：
① 電場切線分量連續： E_1t = E_2t
② 磁場切線分量： n̂ × (H₁ − H₂) = J_s （無面電流時 H_1t = H_2t）
③ 電通密度法線分量： n̂ · (D₁ − D₂) = ρ_s （無面電荷時 D_1n = D_2n）
④ 磁通密度法線分量連續： B_1n = B_2n
💬 【記憶】 「切線的 E 和 H 連續，法線的 D 和 B 連續」（在沒有面電荷、面電流的理想介質界面上）。
§1.7 電感學：自感與互感
這是【例題 4-2】和【例題 4-3】的完整理論基礎。
1.7.1 磁通鏈 (Flux Linkage)
Λ = N Φ （N 匝線圈，每匝穿過磁通 Φ）
💬 【白話版】 想像磁力線是穿過線圈的繩子。如果線圈繞了 100 匝，同一根繩子就「勾住」了 100 次，所以磁通鏈是磁通的 100 倍。單匝線圈時 Λ = Φ（本次作業兩題都是單匝）。
1.7.2 自感 (Self-Inductance)
L ≡ Λ / I （單位：H，亨利 = Wb/A）
💬 【白話版】 「通 1 安培的電流，能勾住多少磁通」。它衡量一個結構「儲存磁能」的能力，也衡量它「抗拒電流改變」的程度（V = L di/dt）。
1.7.3 互感 (Mutual Inductance)
M₁₂ ≡ Λ₁₂ / I₁
─────
迴路 1 的電流 I₁ 產生的磁通中，
「穿過迴路 2」的那部分所形成的磁通鏈
💬 【白話版】 「我通 1 安培，你能勾到多少磁通」。這就是變壓器、無線充電、以及電路板上「串音干擾 (crosstalk)」的物理量。
互易性：M₁₂ = M₂₁ = M（可證明，一般直接引用）。
1.7.4 🎯 求電感的萬用 SOP（5 步驟）
Step 1 假設導體上通電流 I（自感）或 I₁（互感）。
【心法】先假設，最後一定會消掉。
Step 2 用「安培定律」或「畢奧–沙伐定律」求出 B。
對稱結構（無限長直導線、平行板、同軸線、螺線管）→ 用安培定律最快。
Step 3 ★★★ 選對「磁通面 S」★★★
這是最容易錯的一步！
- 自感：磁通面是「電流迴路自己所圍成的面」
- 互感：磁通面是「另一個迴路所圍成的面」
並確認 B 與面的法線方向的關係（是否要乘 cos θ）。
Step 4 積分求磁通：Φ = ∫_S B · dS
若 B 在面上不均勻（如 B ∝ 1/r），必須切細條積分。
Step 5 L = Λ/I = NΦ/I（本次兩題皆 N = 1，Λ = Φ）
✅ 檢驗：答案中「I 必須完全消失」。若還有 I，一定算錯了。
✅ 檢驗：單位必須是 H（自感/互感）或 H/m（單位長度電感）。
⚠️ 「單位長度」的陷阱：題目問「單位長度的電感」時，答案的單位是 H/m，必須把總電感除以長度。這正是【例題 4-2】的評分重點。
§1.8 勞侖茲力與磁力
🎯 【嚴格版】
F = q(E + v × B)
─── ─────
電力 磁力
只考慮磁力時：
F_m = q v × B → 大小：|F_m| = q·v·B·sin θ
其中 θ 是速度 v 與磁通密度 B 之間的夾角。
💬 【白話版】 帶電粒子在磁場裡會被「側推」。
🔍 【sin θ 從哪來？——叉積的幾何意義】
|A × B| = |A||B| sin θ
叉積的大小 = 兩向量張成的平行四邊形面積。當兩向量平行（θ = 0）時，面積為零 → 平行於磁場運動的電荷不受磁力。當垂直（θ = 90°）時面積最大 → 受力最大。
🎯 【三個必知性質】
- 磁力永遠垂直於速度 → 磁力不對粒子作功 → 粒子的速率（動能）永遠不變，磁場只能改變它的方向。
- 垂直入射（θ = 90°）時，粒子做等速圓周運動，半徑 r = mv/(qB)（迴旋加速器、質譜儀原理）。
- 斜射時是螺旋運動（平行分量不受力繼續前進，垂直分量繞圈）→ 極光就是這樣形成的。
§1.9 第四章解題 SOP 總表
| 題型 | 關鍵詞 | SOP |
|---|---|---|
| 默寫 Maxwell | 「寫下馬克斯威爾方程式」 | 四條 + 註明微分/積分 + 本構關係 |
| 推導連續方程式 | 「continuity equation」 | 對安培–馬克斯威爾式取散度 → 用 ∇·(∇×H)=0 → 代入 ∇·D=ρ |
| 求電感/互感 | 「電感」「互感」「inductance」 | §1.7.4 五步驟 SOP |
| 磁力/夾角 | 「磁力」「夾角」 | F = qvB sinθ，解 sinθ |
| 位移電流 | 「位移電流」「displacement current」 | J_d = ∂D/∂t = ε∂E/∂t，比上 J_c = σE |
★ 第四章 例題完整詳解
【例題 4-1】馬克斯威爾方程式與連續方程式
題目：寫下馬克斯威爾方程式 (Maxwell equations)，並試著從馬克斯威爾方程式推導出連續方程式 (continuity equation)。
🔎 這題在考什麼
考兩件事：(a) 能不能默寫四條方程式；(b) 懂不懂**「電荷守恆已經內建在 Maxwell 方程式裡」這個深刻事實。第二點才是精華——它說明 Maxwell 方程式不是四條隨便湊起來的式子，而是一個自洽 (self-consistent)** 的系統。
📝 完整解答
(一) 馬克斯威爾方程式
| 名稱 | 微分形式 | 積分形式 |
|---|---|---|
| 法拉第定律 | ∇×E = −∂B/∂t | ∮_C E·dl = −dΦ_B/dt |
| 安培–馬克斯威爾定律 | ∇×H = J + ∂D/∂t | ∮_C H·dl = I + dΦ_D/dt |
| 高斯定律 | ∇·D = ρ_v | ∮_S D·dS = Q |
| 磁高斯定律 | ∇·B = 0 | ∮_S B·dS = 0 |
輔助本構關係：D = εE，B = μH，J = σE
(二) 推導連續方程式
推導的靈感從哪來？ 我們想得到一條「只含 J 和 ρ_v」的式子。觀察四條方程式：J 只出現在安培–馬克斯威爾定律，ρ_v 只出現在高斯定律。所以策略必然是：想辦法把這兩條接起來。
而「接起來」的橋樑，就是恆等式 ∇·(∇×A) ≡ 0——它能一舉消掉安培式左邊的 H。
【第 1 步】從安培–馬克斯威爾定律出發：
∇ × H = J + ∂D/∂t
【第 2 步】對等式兩邊同時取散度（這是關鍵的一步）：
∇·(∇ × H) = ∇·J + ∇·(∂D/∂t)
【第 3 步】處理左邊：使用向量恆等式（§0.3.6 恆等式 A）
∇·(∇ × H) ≡ 0 （任何向量場的旋度，其散度恆為零）
∴ 0 = ∇·J + ∇·(∂D/∂t)
【第 4 步】處理右邊第二項：交換 ∇· 與 ∂/∂t 的次序
（空間微分與時間微分互相獨立，可交換）
∇·(∂D/∂t) = ∂(∇·D)/∂t
【第 5 步】代入高斯定律 ∇·D = ρ_v：
∂(∇·D)/∂t = ∂ρ_v/∂t
【第 6 步】整理：
0 = ∇·J + ∂ρ_v/∂t
╔══════════════════════════════════════════════╗
║ ∇·J + ∂ρ_v/∂t = 0 即 ∇·J = −∂ρ_v/∂t ║ ← 連續方程式
╚══════════════════════════════════════════════╝
(三) 物理意義
💬 【白話版】 這條式子在說：
「一個小盒子裡的電荷要變少（∂ρ_v/∂t < 0），唯一的辦法就是有電流從盒子流出去（∇·J > 0）。電荷不會憑空消失。」
這就是電荷守恆定律 (conservation of charge)。
用積分形式看更直觀（對連續方程式取體積分並用散度定理）：
∫_V (∇·J) dV = −∫_V (∂ρ_v/∂t) dV
∮_S J·dS = − (d/dt)∫_V ρ_v dV = − dQ_enc/dt
「從封閉曲面流出的總電流 = 面內電荷減少的速率」
✅ 檢驗與延伸
深刻洞見：反過來想，如果 Maxwell 沒有加上位移電流那一項（即 ∇×H = J），那麼上面的推導會得到 ∇·J = 0，也就是「電荷永遠不能累積」——這與電容器充電的事實矛盾。
所以位移電流不是可加可不加的選項，而是「為了與電荷守恆相容，非加不可」。 這是理解第四章最重要的一句話。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| 對法拉第定律取散度 | 會得到 ∇·(∂B/∂t) = 0 → ∂(∇·B)/∂t = 0，只是重述 ∇·B = 0，得不到連續方程式。必須對含 J 的那條取散度。 |
| 忘記寫 ∂D/∂t | 少了位移電流，推出的是 ∇·J = 0（錯誤結論） |
| 沒說明 ∇·(∇×H) ≡ 0 的理由 | 這是配分重點（約 20%），要明確寫出「由向量恆等式」 |
📊 配分建議
四條方程式各 15%（共 60%）｜取散度並使用 ∇·(∇×H)=0 恆等式 20%｜代入高斯定律得連續方程式 20%
💡 三行摘要
四條方程式 → 對「∇×H = J + ∂D/∂t」取散度
→ 左邊 ∇·(∇×H) ≡ 0，右邊代入 ∇·D = ρ_v
→ ∇·J = −∂ρ_v/∂t（電荷守恆）
【例題 4-2】兩平行導體板之單位長度電感
題目：試求兩平行導體板間之單位長度的電感。
題圖：板寬 w、間距 d、長度 l、板間填 μ₀，上板電流 I(t) 向左、下板電流 I(t) 向右（大小相等、方向相反）。
🔎 這題在考什麼
考「§1.7.4 求電感 SOP」的完整執行，特別是 Step 3 選對磁通面，以及最後「要除以長度」。
📐 題目結構圖解
【立體示意】上板電流向左，下板電流向右（構成一個「扁扁的迴路」）
┌───────────────────────┐
/ <-- I(t) 上板 /|
/ / | w（板寬，y 方向）
└───────────────────────┘ /
| μ0（板間） | / <-> d（間距，z 方向）
└───────────────────────┘
I(t) --> 下板
|<-------- l ----------->| （長度，x 方向）
【側視圖】沿 y 方向看進去（看到 l × d 的長方形截面）
<---------- I(t) -------------- 上板 (z = d)
^ ===============================
d B = μ0·I/w (x) 指入紙面 <- 磁場在這裡
v ===============================
---------- I(t) -------------> 下板 (z = 0)
|<---------- l ---------------->|
【前視圖】沿 x 方向（電流方向）看進去
=================== 上板
^ (x) B B 均勻分布在 w × d 的截面上
d
v =================== 下板
|<----- w ------>|
📝 完整解答
【Step 1】設兩板上流過的電流為 I（上下板方向相反）。
【Step 2a】把電流轉成「面電流密度」
導體板寬度為 w，電流 I 均勻分布在寬度上，所以
J_s = I / w （單位：A/m，「每公尺寬流多少安培」）
⚠️ 注意：這裡除的是「板寬 w」，不是「板長 l」！
因為電流是「沿著 l 的方向流」，「橫跨 w 的寬度分布」。
【Step 2b】求板間磁場（方法一：疊加無限大電流面的場）
單一無限大電流面（面電流密度 J_s）在兩側各產生大小 J_s/2 的 H 場，
方向由右手定則決定，兩側方向相反。
兩片板電流方向相反 ⟹
板間（0 < z < d）：兩片板的貢獻「同向」→ 相加
板外（z < 0 或 z > d）：兩片板的貢獻「反向」→ 完全抵消
板間：H = J_s/2 + J_s/2 = J_s = I/w
板外：H = J_s/2 − J_s/2 = 0 ✓（符合「場被關在線內」的物理直覺）
【Step 2b 補】求板間磁場（方法二：安培定律，更快）
取一個矩形安培迴路，一邊在板間（長度 L_a），一邊在板外（H = 0），
兩條短邊垂直於 H 對積分無貢獻：
∮ H·dl = H · L_a + 0 = I_enc = J_s · L_a
⟹ H = J_s = I/w ✓（與方法一一致）
磁通密度：
B = μ₀ H = μ₀ I / w （方向：平行於板面、垂直於電流）
【Step 3】★ 選磁通面 ★
這個「電路」的迴路是：上板 → 一端短路 → 下板 → 另一端短路。
它所圍出來的面，就是側視圖裡那個 l × d 的長方形。
磁通面積 = d × l
（d：兩板間距；l：沿電流方向的長度）
而 B 的方向恰好「垂直穿過」這個面 ✓（見側視圖的入紙面符號）
【Step 4】求磁通
Φ = B × (面積) = (μ₀ I / w) × (d × l) = μ₀ I d l / w [Wb]
（因為 B 在板間是均勻的，可直接相乘，不必積分）
【Step 5】求電感（單匝，Λ = Φ）
L = Φ / I = μ₀ d l / w [H] ← 長度 l 這段線的總電感
【Step 6】★ 題目要「單位長度」→ 除以 l ★
╔════════════════════════════════════════╗
║ L' = L / l = μ₀ d / w [H/m] ║
╚════════════════════════════════════════╝
✅ 三重檢驗
檢驗 1：單位
[μ₀ d / w] = (H/m)(m)/(m) = H/m ✓ 正確的「單位長度電感」單位
檢驗 2：I 已完全消失 ✓（電感只與幾何 d、w 和材料 μ₀ 有關，符合物理）
檢驗 3：與平行板電容的一致性（最漂亮的一個檢驗）
平行板電容的單位長度電容大家都會：
C' = ε₀ w / d [F/m]
兩者相乘：
L' · C' = (μ₀ d/w)(ε₀ w/d) = μ₀ ε₀ ✓✓✓
這正是所有 TEM 傳輸線的普適關係 L'C' = με（見第六章 §3.4.5）。同時也代表這條線上的波速：
v_p = 1/√(L'C') = 1/√(μ₀ε₀) = c ✓ 板間是真空/空氣，波當然以光速跑
能通過這個交叉檢驗，答案幾乎不可能錯。
🎯 幾何直覺（為什麼是 d/w 而不是 w/d？）
💬 【白話版】
- d 越大（兩板拉遠）→ 中間裝得下的磁通越多 → 電感越大 → 所以 d 在分子 ✓
- w 越寬 → 同樣的電流被攤薄，面電流密度 I/w 變小 → 磁場變弱 → 電感越小 → 所以 w 在分母 ✓
- 電容剛好相反（w 在分子，d 在分母），這也是為什麼兩者相乘後幾何因子會完美消掉。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 後果 |
|---|---|
| 忘記除以 l | 答成 μ₀dl/w，單位變成 H 而非 H/m，扣答案分 |
| J_s = I/l | 除錯邊！電流沿 l 流，橫跨 w 分布 → J_s = I/w |
| 磁通面積取成 w×l | 這是板子的表面積，不是迴路圍成的面。正確是 d×l |
| 用 H = J_s/2 | 忘了兩板貢獻要疊加，答案會少一半 |
| 寫成 μ₀w/d | 把電感和電容的幾何因子搞混 |
📊 配分建議
面電流密度與板間磁場 B = μ₀I/w 共 40%｜磁通 Φ = μ₀Idl/w 30%｜L' = μ₀d/w 30%
💡 三行摘要
J_s = I/w → 板間 H = I/w，B = μ₀I/w（板外為 0）
Φ = B·(d·l) = μ₀Idl/w → L = μ₀dl/w
單位長度：L' = μ₀d/w [H/m]（交叉檢驗：L'C' = μ₀ε₀ ✓）
【例題 4-3】導體迴路與長直導線間的互感
題目：如題圖的結構，試求導體迴路與長直導線間的互感。
題圖：長直導線載電流 I₁（垂直向上）；旁邊有一矩形迴路（載 I₂），迴路高度 b，近邊距導線 d，遠邊距導線 a（a、d 皆從導線量起）。
🔎 這題在考什麼
考 §1.7.4 SOP 中的 Step 4：當 B 在磁通面上不均勻時，必須切細條做積分。這是電感題的標準進階款。
📐 題目結構圖解
| I1 ^
|
| ┌───────────────────┐ ^
| | I2 --> | |
| | | b <- 迴路高度 b
| | B (x) 指入紙面 | |
| └───────────────────┘ v
| ^ ^
|<- d ->| |
|<----------- a ---------->|
|
長直導線
★★★ 關鍵：a 是「導線 → 迴路遠邊」的距離，
不是迴路的寬度！迴路寬度 = a − d。
（看題圖：d 的箭頭與 a 的箭頭「都從導線出發」）★★★
📝 完整解答
【Step 1】設長直導線通電流 I₁。
【Step 2】用安培定律求無限長直導線的磁場
取一個半徑 r、圓心在導線上、與導線垂直的圓形安培迴路。
由對稱性，H 沿圓周方向且大小處處相同：
∮ H·dl = H · (2πr) = I_enc = I₁
⟹ H(r) = I₁ / (2πr)
⟹ B(r) = μ₀ I₁ / (2πr) （方向：繞著導線，右手定則）
★ 注意：B 隨 r 變化（B 正比於 1/r），越靠近導線越強。
這就是為什麼下一步「不能直接乘面積」，必須積分。
【Step 3】★ 選磁通面 ★
互感 M₁₂ = Λ₁₂/I₁ ，其中 Λ₁₂ 是「I₁ 產生的磁通中穿過迴路 2 的部分」。
所以磁通面就是「矩形迴路所圍的面」，大小 b × (a − d)。
由右手定則：I₁ 向上時，導線右側的 B 指入紙面，
而迴路就在右側 → B 垂直穿過迴路面 ✓（cos θ = 1，不用打折）
【Step 4】★ 切細條積分 ★
由於 B 隨 r 變化，把矩形切成無數條「寬 dr、高 b」的細長條：
細長條的位置：距導線 r
細長條的面積：dS = b · dr
細長條內 B 可視為定值 B(r)
dΦ = B(r) · dS = [μ₀I₁/(2πr)] · b · dr
對整個矩形積分，r 從「近邊」d 積到「遠邊」a：
⌠a ⌠a
Φ₁₂ = | [μ₀ I₁ b/(2π)] (dr/r) = | ... = (μ₀I₁b/2π)·[ln r] (從 d 到 a)
⌡d ⌡d
= (μ₀ I₁ b / 2π) · (ln a − ln d)
Φ₁₂ = (μ₀ I₁ b / 2π) · ln(a/d) [Wb]
【Step 5】互感（單匝迴路，Λ₁₂ = Φ₁₂）
╔══════════════════════════════════════════╗
║ M = Φ₁₂ / I₁ = (μ₀ b / 2π) ln(a/d) ║ [H]
╚══════════════════════════════════════════╝
✅ 檢驗
檢驗 1：單位
[μ₀ b] = (H/m)(m) = H；ln(a/d) 無因次 ⟹ 結果單位 H ✓
檢驗 2：I₁ 已消失 ✓
檢驗 3：物理極限行為
| 情況 | 數學結果 | 物理合理性 |
|---|---|---|
| a → d（迴路寬度 → 0） | ln(1) = 0 → M = 0 | ✓ 面積為零當然勾不到磁通 |
| d → 0（迴路貼上導線） | ln(a/d) → ∞ | ✓ 貼在導線上時 B → ∞，磁通發散（理想化的必然結果） |
| a → ∞（迴路無限寬） | M → ∞ | ✓ 因為 ∫dr/r 在無窮遠處是對數發散的 |
| b 加倍 | M 加倍 | ✓ 面積加倍，磁通加倍，線性關係 |
檢驗 4：對數形式合理嗎？ B 正比於 1/r，而 ∫(1/r)dr = ln r。只要看到「1/r 型的場」＋「橫向積分」，答案裡就一定有 ln。 這是一個非常可靠的形狀檢驗。
⚠️ 常見錯誤（本題最大的坑）
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| ⭐ 把 a 當成迴路寬度 | 誤寫成 ln((d+a)/d)。看清楚題圖：d 與 a 的箭頭都從導線出發，所以迴路寬度是 a−d，積分上下限是 d → a |
| 直接 Φ = B·A | 忘了 B 隨 r 變化，不能直接相乘。這是本題的核心考點 |
| 積分上下限寫反 | 得到 ln(d/a) = −ln(a/d)，出現負號（互感一般取正值） |
| 用 B = μ₀I/(2πr) 忘了 μ₀ | 混淆 H 與 B |
| 積分變數用錯 | 應對 r 積分（橫向），不是對 b 積分 |
🎯 觀念延伸：這題的工程意義
💬 這就是 PCB 上「串音 (crosstalk)」的模型：一條走線上的電流變化，會透過互感在旁邊的走線上感應出雜訊電壓 v = M·di₁/dt。
- 想減少干擾 → 讓 d 變大（走線拉遠）、b 變小（縮短平行長度）→ M 變小 ✓
- 想增強耦合（做變壓器）→ 反其道而行
注意 M 對距離的依賴是 ln(a/d) 而非 1/d²——對數是很「鈍」的函數，所以把走線拉遠一倍，串音並不會減半，這是實務上很重要的認知。
📊 配分建議
B(r) = μ₀I₁/(2πr) 30%｜磁通積分式正確建立（含上下限 d→a）30%｜積分結果與 M = (μ₀b/2π)ln(a/d) 40%
💡 三行摘要
B(r) = μ₀I₁/(2πr)（隨 r 變 → 必須積分）
切寬 dr、高 b 的細條：dΦ = μ₀I₁b dr/(2πr)，r 從 d 積到 a
M = (μ₀b/2π)·ln(a/d)
【例題 4-4】質子在磁場中所受磁力之夾角
題目：一個以 2×10⁶ m/s 之速度穿過磁通量密度為 2.5 T 之磁場的質子，感受到 4×10⁻¹³ N 之磁力，請問磁場與質子移動方向之間的夾角為何？（質子電荷量 1.6×10⁻¹⁹ C）
🔎 這題在考什麼
考勞侖茲力的大小公式與叉積的角度意義。是本次作業唯一的純數值代入題，務必拿滿分。
📝 完整解答
【Step 1】列出已知
v = 2 × 10⁶ m/s
B = 2.5 T
F = 4 × 10⁻¹³ N
q = 1.6 × 10⁻¹⁹ C（質子帶正電，一個基本電荷）
【Step 2】寫出磁力公式
F = q (v × B)
取大小（叉積的大小 = |v||B|sinθ）：
F = q · v · B · sin θ
其中 θ = v 與 B 的夾角（正是題目要求的）
【Step 3】解出 sin θ
F
sin θ = ───────────
q · v · B
【Step 4】仔細代入（分步計算，避免指數出錯）
先算分母：
q · v = (1.6 × 10⁻¹⁹) × (2 × 10⁶)
= (1.6 × 2) × 10^(−19+6)
= 3.2 × 10⁻¹³
q · v · B = (3.2 × 10⁻¹³) × 2.5
= 8 × 10⁻¹³
再算比值：
4 × 10⁻¹³
sin θ = ───────────── = 0.5
8 × 10⁻¹³
【Step 5】反三角函數
θ = sin⁻¹(0.5)
╔═══════════════════╗
║ θ = 30° ║
╚═══════════════════╝
✅ 檢驗與討論
檢驗 1：sin θ 必須落在 0 到 1 之間 → 0.5 ✓（若算出大於 1 一定是代錯數）
檢驗 2：第二個解
因為 sin(180° − θ) = sin θ，所以 θ = 150° 在數學上也成立。
💬 【物理上該怎麼看？】 「夾角」通常取 0°~180° 的主值，兩個解都在這個範圍內，且都對應到相同的力量大小——這兩種幾何配置在物理上確實無法只憑力的大小分辨。所以答 30°（標準答案）或補充「150° 亦可」都算對。
檢驗 3：極端情況的直覺
若 θ = 90°（垂直入射，受力最大）：F_max = qvB = 8 × 10⁻¹³ N
題目的 F = 4 × 10⁻¹³ N 恰好是最大值的一半 → sin θ = 0.5 → θ = 30° ✓
這個「先算最大力，再看題目是它的幾分之幾」的做法非常快，可以當作口算檢查法。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| 用 cos θ | F = qvB sinθ。cos 是點積（作功），sin 才是叉積（力） |
| 指數算錯 | 10⁻¹⁹ × 10⁶ = 10⁻¹³（指數相加不是相乘），務必分步寫 |
| 忘記 q | 只算 F/(vB) |
| 答成 60° | sin⁻¹(0.5)=30°，cos⁻¹(0.5)=60°，別搞混 |
🎯 觀念延伸
為什麼磁力不作功？
功率 P = F·v = q(v × B)·v
而 (v × B) 必定垂直於 v（叉積的基本性質）
兩個垂直向量的點積 = 0
⟹ P = 0，磁力永遠不作功 ⟹ 粒子速率不變，只有方向改變
這就是為什麼迴旋加速器要用電場加速、用磁場轉彎。
📊 配分建議
F = qvB sinθ 40%｜正確代入得 sinθ = 0.5 40%｜θ = 30° 20%
💡 三行摘要
F = qvB sinθ → sinθ = F/(qvB)
分母 = 1.6e−19 × 2e6 × 2.5 = 8e−13
sinθ = 4e−13/8e−13 = 0.5 → θ = 30°（150° 亦可）
【例題 4-5】位移電流與傳導電流密度之比值
題目：假設有一交流電場 E = E₀cos ωt 作用在一導電率為 σ 的物質上，試求位移電流與電流密度的比值。
🔎 這題在考什麼
考位移電流的定義 J_d = ∂D/∂t，以及它與傳導電流的競爭關係。這個比值在第五章會以「損耗正切」之名再次出現，是連結第四、五章的關鍵橋樑。
📝 完整解答
【Step 1】傳導電流密度（歐姆定律的微分形式）
J_c = σ E = σ E₀ cos(ωt)
⟹ 振幅 |J_c| = σ E₀
⟹ 相位：與 E 同相
【Step 2】位移電流密度（Maxwell 的定義）
J_d = ∂D/∂t
代入本構關係 D = εE（ε 為該物質的介電係數）：
J_d = ∂(εE)/∂t = ε ∂E/∂t （ε 不隨時間變，可提出）
= ε · ∂[E₀cos(ωt)]/∂t
= ε · E₀ · (−ω sin(ωt))
= − ω ε E₀ sin(ωt)
⟹ 振幅 |J_d| = ω ε E₀
⟹ 相位：−sin(ωt) = cos(ωt + 90°) → 比 E 超前 90°
【Step 3】求比值（振幅比）
|J_d| ω ε E₀
─────── = ─────────
|J_c| σ E₀
╔═══════════════════════════╗
║ |J_d| / |J_c| = ωε/σ ║
╚═══════════════════════════╝
（若題目未指定介電係數，取 ε = ε₀，則比值為 ωε₀/σ）
用相量做（更快，且自動帶出相位資訊）
E(t) = E₀cos(ωt) ⟹ 相量 E~ = E₀
J~_c = σ E~ = σ E₀
J~_d = jω ε E~ = jω ε E₀ （∂/∂t → ×jω）
J~_d jωε
────── = ───── ← 複數形式，模為 ωε/σ，相位差 +90°
J~_c σ
✅ 檢驗
檢驗 1：無因次？
[ωε/σ] = (rad/s)(F/m)/(S/m) = (1/s)(F)/(S) = (1/s)(A·s/V)/(A/V) = 1 ✓
比值必須無因次，通過 ✓
檢驗 2：相位差 90° — 傳導電流與 E 同相（電阻性、耗能），位移電流超前 E 90°（電容性、不耗能）。這正是「電阻 vs 電容」的教科書行為 ✓
🎯 觀念延伸：這個比值超級重要！
🎯 這個比值的倒數就是【損耗正切 (loss tangent)】：
J_c σ
損耗正切 tan δ_c = ─────── = ─────
J_d ωε
它是判斷一個材料在某頻率下算「導體」還是「介質」的唯一判準：
| 條件 | 名稱 | 行為 | 例子 |
|---|---|---|---|
| σ/(ωε) ≫ 1 | 良導體 | 傳導電流主宰，波幾乎進不去，發生集膚效應 | 銅在微波頻段（見 5-8 題：σ/(ωε₀) ≈ 5×10⁷ ！） |
| σ/(ωε) ≪ 1 | 良介質（低損耗） | 位移電流主宰，波可以傳播，衰減很小 | 空氣、鐵氟龍、玻璃 |
| σ/(ωε) ≈ 1 | 一般有損介質 | 兩者相當，波邊傳邊衰減 | 潮濕土壤、生物組織 |
💬 【白話版 — 為什麼頻率會改變材料的「身分」？】
同一塊材料，在低頻是「導體」，在超高頻可能變成「介質」！因為 ωε 隨頻率線性增加，而 σ 大致不變。
想像一場拔河：
- σ 隊（傳導電流）：靠自由電子跑動導電，力量固定。
- ωε 隊（位移電流）：靠電場「來回搖晃」產生效果，搖得越快（ω 越大）力量越大。
低頻時 σ 隊贏（表現像導體）；頻率拉高到某個程度，ωε 隊就會追上並超越（表現像介質）。這就是為什麼海水在低頻導電、但可見光（極高頻）卻能穿透海水的物理原因。
⚠️ 常見錯誤
| 錯誤 | 說明 |
|---|---|
| 忘記微分帶出 ω | 寫成 ε/σ，漏了最關鍵的 ω |
| 用 ε₀ 但題目材料非真空 | 應寫 ε（或註明取 ε₀） |
| 比值上下顛倒 | 題目問「位移電流與電流密度」→ J_d 在上面 |
| 忘記負號/相位 | 大小題不影響，但被問到相位時要知道差 90° |
📊 配分建議
J_c = σE 30%｜J_d = ∂D/∂t = ε∂E/∂t（含微分正確）40%｜比值 ωε/σ 30%
💡 三行摘要
J_c = σE₀cos ωt → 振幅 σE₀
J_d = ε ∂E/∂t = −ωεE₀ sin ωt → 振幅 ωεE₀
比值 = ωε/σ（= 損耗正切的倒數，決定材料是導體還是介質）